Розв'яжіть 70/x+35+70/x-35=40

$$\frac{ 70 }{ x+35 } + \frac{ 70 }{ x-35 } =40$$

Знайдіть x

$$x = \frac{7 \sqrt{401} + 7}{4} \approx 36,79372269$$

$$x=\frac{7-7\sqrt{401}}{4}\approx -33,29372269$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -35,35, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на \left(x-35\right)\left(x+35\right) (найменше спільне кратне для x+35,x-35).

$$\left(x-35\right)\times 70+\left(x+35\right)\times 70=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-35 на 70.

$$70x-2450+\left(x+35\right)\times 70=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x+35 на 70.

$$70x-2450+70x+2450=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Додайте 70x до 70x, щоб отримати 140x.

$$140x-2450+2450=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Додайте -2450 до 2450, щоб обчислити 0.

$$140x=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 40 на x-35.

$$140x=\left(40x-1400\right)\left(x+35\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 40x-1400 на x+35 і звести подібні члени.

$$140x=40x^{2}-49000$$

Відніміть 40x^{2} з обох сторін.

$$140x-40x^{2}=-49000$$

Додайте 49000 до обох сторін.

$$140x-40x^{2}+49000=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-40x^{2}+140x+49000=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -40 замість a, 140 замість b і 49000 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-140±\sqrt{140^{2}-4\left(-40\right)\times 49000}}{2\left(-40\right)}$$

Піднесіть 140 до квадрата.

$$x=\frac{-140±\sqrt{19600-4\left(-40\right)\times 49000}}{2\left(-40\right)}$$

Помножте -4 на -40.

$$x=\frac{-140±\sqrt{19600+160\times 49000}}{2\left(-40\right)}$$

Помножте 160 на 49000.

$$x=\frac{-140±\sqrt{19600+7840000}}{2\left(-40\right)}$$

Додайте 19600 до 7840000.

$$x=\frac{-140±\sqrt{7859600}}{2\left(-40\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 7859600.

$$x=\frac{-140±140\sqrt{401}}{2\left(-40\right)}$$

Помножте 2 на -40.

$$x=\frac{-140±140\sqrt{401}}{-80}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-140±140\sqrt{401}}{-80} за додатного значення ±. Додайте -140 до 140\sqrt{401}.

$$x=\frac{140\sqrt{401}-140}{-80}$$

Розділіть -140+140\sqrt{401} на -80.

$$x=\frac{7-7\sqrt{401}}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-140±140\sqrt{401}}{-80} за від’ємного значення ±. Відніміть 140\sqrt{401} від -140.

$$x=\frac{-140\sqrt{401}-140}{-80}$$

Розділіть -140-140\sqrt{401} на -80.

$$x=\frac{7\sqrt{401}+7}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{7-7\sqrt{401}}{4} x=\frac{7\sqrt{401}+7}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -35,35, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на \left(x-35\right)\left(x+35\right) (найменше спільне кратне для x+35,x-35).

$$\left(x-35\right)\times 70+\left(x+35\right)\times 70=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-35 на 70.

$$70x-2450+\left(x+35\right)\times 70=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x+35 на 70.

$$70x-2450+70x+2450=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Додайте 70x до 70x, щоб отримати 140x.

$$140x-2450+2450=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Додайте -2450 до 2450, щоб обчислити 0.

$$140x=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 40 на x-35.

$$140x=\left(40x-1400\right)\left(x+35\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 40x-1400 на x+35 і звести подібні члени.

$$140x=40x^{2}-49000$$

Відніміть 40x^{2} з обох сторін.

$$140x-40x^{2}=-49000$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-40x^{2}+140x=-49000$$

Розділіть обидві сторони на -40.

$$\frac{-40x^{2}+140x}{-40}=-\frac{49000}{-40}$$

Ділення на -40 скасовує множення на -40.

$$x^{2}+\frac{140}{-40}x=-\frac{49000}{-40}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 20, щоб звести дріб \frac{140}{-40} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{49000}{-40}$$

Розділіть -49000 на -40.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=1225$$

Поділіть -\frac{7}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{7}{4}. Потім додайте -\frac{7}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=1225+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{7}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=1225+\frac{49}{16}$$

Додайте 1225 до \frac{49}{16}.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{19649}{16}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{19649}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19649}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{7\sqrt{401}}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{7\sqrt{401}}{4}$$

Додайте \frac{7}{4} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{7\sqrt{401}+7}{4} x=\frac{7-7\sqrt{401}}{4}$$