Розв'яжіть 4/x-2-x-3/x-4=0

$$\frac{ 4 }{ x-2 } - \frac{ x-3 }{ x-4 } =0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+9}{2}\approx 4,5-1,322875656i$$

$$x=\frac{9+\sqrt{7}i}{2}\approx 4,5+1,322875656i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень 2,4, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на \left(x-4\right)\left(x-2\right) (найменше спільне кратне для x-2,x-4).

$$\left(x-4\right)\times 4-\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-4 на 4.

$$4x-16-\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-2 на x-3 і звести подібні члени.

$$4x-16-\left(x^{2}-5x+6\right)=0$$

Щоб знайти протилежне виразу x^{2}-5x+6, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$4x-16-x^{2}+5x-6=0$$

Додайте 4x до 5x, щоб отримати 9x.

$$9x-16-x^{2}-6=0$$

Відніміть 6 від -16, щоб отримати -22.

$$9x-22-x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-x^{2}+9x-22=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, 9 замість b і -22 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-1\right)\left(-22\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Піднесіть 9 до квадрата.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-1\right)\left(-22\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+4\left(-22\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 4 на -22.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-88}}{2\left(-1\right)}$$

Додайте 81 до -88.

$$x=\frac{-9±\sqrt{-7}}{2\left(-1\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із -7.

$$x=\frac{-9±\sqrt{7}i}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$x=\frac{-9±\sqrt{7}i}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-9±\sqrt{7}i}{-2} за додатного значення ±. Додайте -9 до i\sqrt{7}.

$$x=\frac{-9+\sqrt{7}i}{-2}$$

Розділіть -9+i\sqrt{7} на -2.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+9}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-9±\sqrt{7}i}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{7} від -9.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-9}{-2}$$

Розділіть -9-i\sqrt{7} на -2.

$$x=\frac{9+\sqrt{7}i}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+9}{2} x=\frac{9+\sqrt{7}i}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень 2,4, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на \left(x-4\right)\left(x-2\right) (найменше спільне кратне для x-2,x-4).

$$\left(x-4\right)\times 4-\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-4 на 4.

$$4x-16-\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-2 на x-3 і звести подібні члени.

$$4x-16-\left(x^{2}-5x+6\right)=0$$

Щоб знайти протилежне виразу x^{2}-5x+6, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$4x-16-x^{2}+5x-6=0$$

Додайте 4x до 5x, щоб отримати 9x.

$$9x-16-x^{2}-6=0$$

Відніміть 6 від -16, щоб отримати -22.

$$9x-22-x^{2}=0$$

Додайте 22 до обох сторін. Якщо додати нуль до будь-якого числа, воно не зміниться.

$$9x-x^{2}=22$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+9x=22$$

Розділіть обидві сторони на -1.

$$\frac{-x^{2}+9x}{-1}=\frac{22}{-1}$$

Ділення на -1 скасовує множення на -1.

$$x^{2}+\frac{9}{-1}x=\frac{22}{-1}$$

Розділіть 9 на -1.

$$x^{2}-9x=\frac{22}{-1}$$

Розділіть 22 на -1.

$$x^{2}-9x=-22$$

Поділіть -9 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{9}{2}. Потім додайте -\frac{9}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=-22+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{9}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=-22+\frac{81}{4}$$

Додайте -22 до \frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=-\frac{7}{4}$$

Розкладіть x^{2}-9x+\frac{81}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{\sqrt{7}i}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{\sqrt{7}i}{2}$$

Додайте \frac{9}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{9+\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-\sqrt{7}i+9}{2}$$