Розв'яжіть 2/x-3+3/x-2=3

$$\frac{ 2 }{ x-3 } + \frac{ 3 }{ x-2 } =3$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{7} + 10}{3} \approx 4,215250437$$

$$x = \frac{10 - \sqrt{7}}{3} \approx 2,45141623$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень 2,3, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на \left(x-3\right)\left(x-2\right) (найменше спільне кратне для x-3,x-2).

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-2 на 2.

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-3 на 3.

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Додайте 2x до 3x, щоб отримати 5x.

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Відніміть 9 від -4, щоб отримати -13.

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 3 на x-3.

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 3x-9 на x-2 і звести подібні члени.

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

Відніміть 3x^{2} з обох сторін.

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

Додайте 15x до обох сторін.

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

Додайте 5x до 15x, щоб отримати 20x.

$$20x-13-3x^{2}=18$$

Відніміть 18 з обох сторін.

$$20x-13-3x^{2}-18=0$$

Відніміть 18 від -13, щоб отримати -31.

$$20x-31-3x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-3x^{2}+20x-31=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -3 замість a, 20 замість b і -31 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Піднесіть 20 до квадрата.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Помножте -4 на -3.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+12\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Помножте 12 на -31.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-372}}{2\left(-3\right)}$$

Додайте 400 до -372.

$$x=\frac{-20±\sqrt{28}}{2\left(-3\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 28.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

Помножте 2 на -3.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6} за додатного значення ±. Додайте -20 до 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-20}{-6}$$

Розділіть -20+2\sqrt{7} на -6.

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{7} від -20.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-20}{-6}$$

Розділіть -20-2\sqrt{7} на -6.

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3} x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень 2,3, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на \left(x-3\right)\left(x-2\right) (найменше спільне кратне для x-3,x-2).

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-2 на 2.

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-3 на 3.

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Додайте 2x до 3x, щоб отримати 5x.

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Відніміть 9 від -4, щоб отримати -13.

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 3 на x-3.

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 3x-9 на x-2 і звести подібні члени.

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

Відніміть 3x^{2} з обох сторін.

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

Додайте 15x до обох сторін.

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

Додайте 5x до 15x, щоб отримати 20x.

$$20x-13-3x^{2}=18$$

Додайте 13 до обох сторін.

$$20x-3x^{2}=18+13$$

Додайте 18 до 13, щоб обчислити 31.

$$20x-3x^{2}=31$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+20x=31$$

Розділіть обидві сторони на -3.

$$\frac{-3x^{2}+20x}{-3}=\frac{31}{-3}$$

Ділення на -3 скасовує множення на -3.

$$x^{2}+\frac{20}{-3}x=\frac{31}{-3}$$

Розділіть 20 на -3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=\frac{31}{-3}$$

Розділіть 31 на -3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{31}{3}$$

Поділіть -\frac{20}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{10}{3}. Потім додайте -\frac{10}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{31}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{10}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{31}{3}+\frac{100}{9}$$

Щоб додати -\frac{31}{3} до \frac{100}{9}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{7}{9}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{7}{9}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{9}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$

Додайте \frac{10}{3} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$