Розв'яжіть 1/x^3+2x^2-x-2-2/1-x=3/x+1

$$\frac{ 1 }{ { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } -x-2 } - \frac{ 2 }{ 1-x } = \frac{ 3 }{ x+1 }$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{53} + 3}{2} \approx 5,140054945$$

$$x=\frac{3-\sqrt{53}}{2}\approx -2,140054945$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -2,-1,1, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right) (найменше спільне кратне для x^{3}+2x^{2}-x-2,1-x,x+1).

$$1-\left(-\left(1+x\right)\left(2+x\right)\times 2\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Помножте -1 на 2, щоб отримати -2.

$$1-\left(-2\left(1+x\right)\left(2+x\right)\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити -2 на 1+x.

$$1-\left(-2-2x\right)\left(2+x\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити -2-2x на 2+x і звести подібні члени.

$$1-\left(-4-6x-2x^{2}\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Щоб знайти протилежне виразу -4-6x-2x^{2}, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$1+4+6x+2x^{2}=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Додайте 1 до 4, щоб обчислити 5.

$$5+6x+2x^{2}=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-1 на x+2 і звести подібні члени.

$$5+6x+2x^{2}=\left(x^{2}+x-2\right)\times 3$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x^{2}+x-2 на 3.

$$5+6x+2x^{2}=3x^{2}+3x-6$$

Відніміть 3x^{2} з обох сторін.

$$5+6x+2x^{2}-3x^{2}=3x-6$$

Додайте 2x^{2} до -3x^{2}, щоб отримати -x^{2}.

$$5+6x-x^{2}=3x-6$$

Відніміть 3x з обох сторін.

$$5+6x-x^{2}-3x=-6$$

Додайте 6x до -3x, щоб отримати 3x.

$$5+3x-x^{2}=-6$$

Додайте 6 до обох сторін.

$$5+3x-x^{2}+6=0$$

Додайте 5 до 6, щоб обчислити 11.

$$11+3x-x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-x^{2}+3x+11=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, 3 замість b і 11 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Піднесіть 3 до квадрата.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 4 на 11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+44}}{2\left(-1\right)}$$

Додайте 9 до 44.

$$x=\frac{-3±\sqrt{53}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{53}}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-3±\sqrt{53}}{-2} за додатного значення ±. Додайте -3 до \sqrt{53}.

$$x=\frac{\sqrt{53}-3}{-2}$$

Розділіть -3+\sqrt{53} на -2.

$$x=\frac{3-\sqrt{53}}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-3±\sqrt{53}}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{53} від -3.

$$x=\frac{-\sqrt{53}-3}{-2}$$

Розділіть -3-\sqrt{53} на -2.

$$x=\frac{\sqrt{53}+3}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{3-\sqrt{53}}{2} x=\frac{\sqrt{53}+3}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -2,-1,1, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right) (найменше спільне кратне для x^{3}+2x^{2}-x-2,1-x,x+1).

$$1-\left(-\left(1+x\right)\left(2+x\right)\times 2\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Помножте -1 на 2, щоб отримати -2.

$$1-\left(-2\left(1+x\right)\left(2+x\right)\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити -2 на 1+x.

$$1-\left(-2-2x\right)\left(2+x\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити -2-2x на 2+x і звести подібні члени.

$$1-\left(-4-6x-2x^{2}\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Щоб знайти протилежне виразу -4-6x-2x^{2}, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$1+4+6x+2x^{2}=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Додайте 1 до 4, щоб обчислити 5.

$$5+6x+2x^{2}=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-1 на x+2 і звести подібні члени.

$$5+6x+2x^{2}=\left(x^{2}+x-2\right)\times 3$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x^{2}+x-2 на 3.

$$5+6x+2x^{2}=3x^{2}+3x-6$$

Відніміть 3x^{2} з обох сторін.

$$5+6x+2x^{2}-3x^{2}=3x-6$$

Додайте 2x^{2} до -3x^{2}, щоб отримати -x^{2}.

$$5+6x-x^{2}=3x-6$$

Відніміть 3x з обох сторін.

$$5+6x-x^{2}-3x=-6$$

Додайте 6x до -3x, щоб отримати 3x.

$$5+3x-x^{2}=-6$$

Відніміть 5 з обох сторін.

$$3x-x^{2}=-6-5$$

Відніміть 5 від -6, щоб отримати -11.

$$3x-x^{2}=-11$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x=-11$$

Розділіть обидві сторони на -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{11}{-1}$$

Ділення на -1 скасовує множення на -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{11}{-1}$$

Розділіть 3 на -1.

$$x^{2}-3x=-\frac{11}{-1}$$

Розділіть -11 на -1.

$$x^{2}-3x=11$$

Поділіть -3 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{3}{2}. Потім додайте -\frac{3}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=11+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{3}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=11+\frac{9}{4}$$

Додайте 11 до \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{53}{4}$$

Розкладіть x^{2}-3x+\frac{9}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{53}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{53}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{53}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{53}}{2}$$

Додайте \frac{3}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{53}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{53}}{2}$$