Розв'яжіть x+9/x+16x/x+9=8

$$\frac { x + 9 } { x } + \frac { 16 x } { x + 9 } = 8$$

Знайдіть x

$$x=3$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -9,0, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на x\left(x+9\right) (найменше спільне кратне для x,x+9).

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Помножте x+9 на x+9, щоб отримати \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Помножте x на x, щоб отримати x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Додайте x^{2} до x^{2}\times 16, щоб отримати 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 8x на x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Відніміть 8x^{2} з обох сторін.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Додайте 17x^{2} до -8x^{2}, щоб отримати 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Відніміть 72x з обох сторін.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Додайте 18x до -72x, щоб отримати -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Розділіть обидві сторони на 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді x^{2}+ax+bx+9. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-6 ab=1\times 9=9$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 9.

$$-1,-9 -3,-3$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-9=-10 -3-3=-6$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -6.

$$a=-3 b=-3$$

Перепишіть x^{2}-6x+9 як \left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right)$$

x на першій та -3 в друге групу.

$$x\left(x-3\right)-3\left(x-3\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-3\right)\left(x-3\right)$$

Перепишіть у вигляді квадрата двочлена.

$$\left(x-3\right)^{2}$$

Щоб знайти розв’язок рівняння, обчисліть x-3=0.

$$x=3$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -9,0, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на x\left(x+9\right) (найменше спільне кратне для x,x+9).

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Помножте x+9 на x+9, щоб отримати \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Помножте x на x, щоб отримати x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Додайте x^{2} до x^{2}\times 16, щоб отримати 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 8x на x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Відніміть 8x^{2} з обох сторін.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Додайте 17x^{2} до -8x^{2}, щоб отримати 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Відніміть 72x з обох сторін.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Додайте 18x до -72x, щоб отримати -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 9 замість a, -54 замість b і 81 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 9\times 81}}{2\times 9}$$

Піднесіть -54 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 9\times 81}}{2\times 9}$$

Помножте -4 на 9.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-36\times 81}}{2\times 9}$$

Помножте -36 на 81.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-2916}}{2\times 9}$$

Додайте 2916 до -2916.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Видобудьте квадратний корінь із 0.

$$x=-\frac{-54}{2\times 9}$$

Число, протилежне до -54, дорівнює 54.

$$x=\frac{54}{2\times 9}$$

Помножте 2 на 9.

$$x=\frac{54}{18}$$

Розділіть 54 на 18.

$$x=3$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -9,0, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на x\left(x+9\right) (найменше спільне кратне для x,x+9).

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Помножте x+9 на x+9, щоб отримати \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Помножте x на x, щоб отримати x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Додайте x^{2} до x^{2}\times 16, щоб отримати 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 8x на x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Відніміть 8x^{2} з обох сторін.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Додайте 17x^{2} до -8x^{2}, щоб отримати 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Відніміть 72x з обох сторін.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Додайте 18x до -72x, щоб отримати -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Відніміть 81 з обох сторін. Якщо відняти будь-яке число від нуля, ви отримаєте його протилежне за знаком число.

$$9x^{2}-54x=-81$$

Розділіть обидві сторони на 9.

$$\frac{9x^{2}-54x}{9}=-\frac{81}{9}$$

Ділення на 9 скасовує множення на 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{54}{9}\right)x=-\frac{81}{9}$$

Розділіть -54 на 9.

$$x^{2}-6x=-\frac{81}{9}$$

Розділіть -81 на 9.

$$x^{2}-6x=-9$$

Поділіть -6 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -3. Потім додайте -3 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-9+\left(-3\right)^{2}$$

Піднесіть -3 до квадрата.

$$x^{2}-6x+9=-9+9$$

Додайте -9 до 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Розкладіть x^{2}-6x+9 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Виконайте спрощення.

$$x-3=0 x-3=0$$

Додайте 3 до обох сторін цього рівняння.

$$x=3 x=3$$

Тепер рівняння розв’язано. Розв’язки збігаються.

$$x=3$$