Розв'яжіть frac{7+3sqrt{5}}{3+sqrt{5}}-frac{7-3sqrt{5}}{3-sqrt{5}}

$$\frac { 7 + 3 \sqrt { 5 } } { 3 + \sqrt { 5 } } - \frac { 7 - 3 \sqrt { 5 } } { 3 - \sqrt { 5 } }$$

Обчислити

$$\sqrt{5}\approx 2,236067977$$

Стислі кроки з розв’язання

Звільніться від ірраціональності в знаменнику \frac{7+3\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}, помноживши чисельник і знаменник на 3-\sqrt{5}.

$$\frac{\left(7+3\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}{\left(3+\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}-\frac{7-3\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$$

Розглянемо \left(3+\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(7+3\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}{3^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}-\frac{7-3\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$$

Піднесіть 3 до квадрата. Піднесіть \sqrt{5} до квадрата.

$$\frac{\left(7+3\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}{9-5}-\frac{7-3\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$$

Відніміть 5 від 9, щоб отримати 4.

$$\frac{\left(7+3\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}{4}-\frac{7-3\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$$

Звільніться від ірраціональності в знаменнику \frac{7-3\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}, помноживши чисельник і знаменник на 3+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(7+3\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}{4}-\frac{\left(7-3\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}{\left(3-\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}$$

Розглянемо \left(3-\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(7+3\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}{4}-\frac{\left(7-3\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}{3^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Піднесіть 3 до квадрата. Піднесіть \sqrt{5} до квадрата.

$$\frac{\left(7+3\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}{4}-\frac{\left(7-3\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}{9-5}$$

Відніміть 5 від 9, щоб отримати 4.

$$\frac{\left(7+3\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}{4}-\frac{\left(7-3\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}{4}$$

Оскільки знаменник дробів \frac{\left(7+3\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}{4} і \frac{\left(7-3\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}{4} збігається, щоб знайти їх різницю, достатньо відняти чисельники один від одного.

$$\frac{\left(7+3\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)-\left(7-3\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}{4}$$

Виконайте множення у виразі \left(7+3\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)-\left(7-3\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right).

$$\frac{21-7\sqrt{5}+9\sqrt{5}-15-21-7\sqrt{5}+9\sqrt{5}+15}{4}$$

Виконайте арифметичні операції у виразі 21-7\sqrt{5}+9\sqrt{5}-15-21-7\sqrt{5}+9\sqrt{5}+15.

$$\frac{4\sqrt{5}}{4}$$

Відкиньте 4 і 4.

$$\sqrt{5}$$