Розв'яжіть 5-2x/3+4<3x-5/4*3x/2

$$\frac { 5 - 2 x } { 3 } + 4 < \frac { 3 x - 5 } { 4 } \cdot \frac { 3 x } { 2 }$$

Знайти x

$$x\in \left(-\infty,\frac{29-\sqrt{15529}}{54}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{15529}+29}{54},\infty\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Помножте обидві сторони цього рівняння на 12 (найменше спільне кратне для 3,4,2). Оскільки 12 додатне, напрямок нерівність залишається без змін.

$$4\left(5-2x\right)+48<3\left(3x-5\right)\times \frac{3x}{2}$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 4 на 5-2x.

$$20-8x+48<3\left(3x-5\right)\times \frac{3x}{2}$$

Додайте 20 до 48, щоб обчислити 68.

$$68-8x<3\left(3x-5\right)\times \frac{3x}{2}$$

Виразіть 3\times \frac{3x}{2} як єдиний дріб.

$$68-8x<\frac{3\times 3x}{2}\left(3x-5\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити \frac{3\times 3x}{2} на 3x-5.

$$68-8x<3\times \frac{x\times 3^{2}}{2}x-5\times \frac{3\times 3x}{2}$$

Обчисліть 3 у степені 2 і отримайте 9.

$$68-8x<3\times \frac{x\times 9}{2}x-5\times \frac{3\times 3x}{2}$$

Виразіть 3\times \frac{x\times 9}{2} як єдиний дріб.

$$68-8x<\frac{3x\times 9}{2}x-5\times \frac{3\times 3x}{2}$$

Виразіть \frac{3x\times 9}{2}x як єдиний дріб.

$$68-8x<\frac{3x\times 9x}{2}-5\times \frac{3\times 3x}{2}$$

Помножте 3 на 3, щоб отримати 9.

$$68-8x<\frac{3x\times 9x}{2}-5\times \frac{9x}{2}$$

Виразіть -5\times \frac{9x}{2} як єдиний дріб.

$$68-8x<\frac{3x\times 9x}{2}+\frac{-5\times 9x}{2}$$

Оскільки \frac{3x\times 9x}{2} та \frac{-5\times 9x}{2} мають однакову знаменник, додайте їх чисельників.

$$68-8x<\frac{3x\times 9x-5\times 9x}{2}$$

Виконайте множення у виразі 3x\times 9x-5\times 9x.

$$68-8x<\frac{27x^{2}-45x}{2}$$

Поділіть кожен член виразу 27x^{2}-45x на 2, щоб отримати \frac{27}{2}x^{2}-\frac{45}{2}x.

$$68-8x<\frac{27}{2}x^{2}-\frac{45}{2}x$$

Відніміть \frac{27}{2}x^{2} з обох сторін.

$$68-8x-\frac{27}{2}x^{2}<-\frac{45}{2}x$$

Додайте \frac{45}{2}x до обох сторін.

$$68-8x-\frac{27}{2}x^{2}+\frac{45}{2}x<0$$

Додайте -8x до \frac{45}{2}x, щоб отримати \frac{29}{2}x.

$$68+\frac{29}{2}x-\frac{27}{2}x^{2}<0$$

Помножте нерівність на -1, щоб коефіцієнт при найвищому ступені в 68+\frac{29}{2}x-\frac{27}{2}x^{2} був додатний. Оскільки -1 від'ємне, нерівність напрямок.

$$-68-\frac{29}{2}x+\frac{27}{2}x^{2}>0$$

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$-68-\frac{29}{2}x+\frac{27}{2}x^{2}=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі \frac{27}{2} на a, -\frac{29}{2} – на b, а -68 – на c.

$$x=\frac{-\left(-\frac{29}{2}\right)±\sqrt{\left(-\frac{29}{2}\right)^{2}-4\times \frac{27}{2}\left(-68\right)}}{2\times \frac{27}{2}}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{\frac{29}{2}±\frac{1}{2}\sqrt{15529}}{27}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{\frac{29}{2}±\frac{1}{2}\sqrt{15529}}{27} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=\frac{\sqrt{15529}+29}{54} x=\frac{29-\sqrt{15529}}{54}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$\frac{27}{2}\left(x-\frac{\sqrt{15529}+29}{54}\right)\left(x-\frac{29-\sqrt{15529}}{54}\right)>0$$

Щоб добуток був додатний, x-\frac{\sqrt{15529}+29}{54} і x-\frac{29-\sqrt{15529}}{54} мають одночасно бути або додатними, або від’ємними. Розглянемо випадок, коли x-\frac{\sqrt{15529}+29}{54} і x-\frac{29-\sqrt{15529}}{54} від’ємні.

$$x-\frac{\sqrt{15529}+29}{54}<0 x-\frac{29-\sqrt{15529}}{54}<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x<\frac{29-\sqrt{15529}}{54}.

$$x<\frac{29-\sqrt{15529}}{54}$$

Розглянемо випадок, коли x-\frac{\sqrt{15529}+29}{54} і x-\frac{29-\sqrt{15529}}{54} додатні.

$$x-\frac{29-\sqrt{15529}}{54}>0 x-\frac{\sqrt{15529}+29}{54}>0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x>\frac{\sqrt{15529}+29}{54}.

$$x>\frac{\sqrt{15529}+29}{54}$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x<\frac{29-\sqrt{15529}}{54}\text{; }x>\frac{\sqrt{15529}+29}{54}$$