Розв'яжіть 5/x-3-x-1/x-2=7

$$\frac { 5 } { x - 3 } - \frac { x - 1 } { x - 2 } = 7$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{11} + 11}{4} \approx 3,579156198$$

$$x = \frac{11 - \sqrt{11}}{4} \approx 1,920843802$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень 2,3, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на \left(x-3\right)\left(x-2\right) (найменше спільне кратне для x-3,x-2).

$$\left(x-2\right)\times 5-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-2 на 5.

$$5x-10-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-3 на x-1 і звести подібні члени.

$$5x-10-\left(x^{2}-4x+3\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Щоб знайти протилежне виразу x^{2}-4x+3, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$5x-10-x^{2}+4x-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Додайте 5x до 4x, щоб отримати 9x.

$$9x-10-x^{2}-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Відніміть 3 від -10, щоб отримати -13.

$$9x-13-x^{2}=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 7 на x-3.

$$9x-13-x^{2}=\left(7x-21\right)\left(x-2\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 7x-21 на x-2 і звести подібні члени.

$$9x-13-x^{2}=7x^{2}-35x+42$$

Відніміть 7x^{2} з обох сторін.

$$9x-13-x^{2}-7x^{2}=-35x+42$$

Додайте -x^{2} до -7x^{2}, щоб отримати -8x^{2}.

$$9x-13-8x^{2}=-35x+42$$

Додайте 35x до обох сторін.

$$9x-13-8x^{2}+35x=42$$

Додайте 9x до 35x, щоб отримати 44x.

$$44x-13-8x^{2}=42$$

Відніміть 42 з обох сторін.

$$44x-13-8x^{2}-42=0$$

Відніміть 42 від -13, щоб отримати -55.

$$44x-55-8x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-8x^{2}+44x-55=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -8 замість a, 44 замість b і -55 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-44±\sqrt{44^{2}-4\left(-8\right)\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Піднесіть 44 до квадрата.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-4\left(-8\right)\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Помножте -4 на -8.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936+32\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Помножте 32 на -55.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-1760}}{2\left(-8\right)}$$

Додайте 1936 до -1760.

$$x=\frac{-44±\sqrt{176}}{2\left(-8\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 176.

$$x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{2\left(-8\right)}$$

Помножте 2 на -8.

$$x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16} за додатного значення ±. Додайте -44 до 4\sqrt{11}.

$$x=\frac{4\sqrt{11}-44}{-16}$$

Розділіть -44+4\sqrt{11} на -16.

$$x=\frac{11-\sqrt{11}}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16} за від’ємного значення ±. Відніміть 4\sqrt{11} від -44.

$$x=\frac{-4\sqrt{11}-44}{-16}$$

Розділіть -44-4\sqrt{11} на -16.

$$x=\frac{\sqrt{11}+11}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{11-\sqrt{11}}{4} x=\frac{\sqrt{11}+11}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень 2,3, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на \left(x-3\right)\left(x-2\right) (найменше спільне кратне для x-3,x-2).

$$\left(x-2\right)\times 5-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-2 на 5.

$$5x-10-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-3 на x-1 і звести подібні члени.

$$5x-10-\left(x^{2}-4x+3\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Щоб знайти протилежне виразу x^{2}-4x+3, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$5x-10-x^{2}+4x-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Додайте 5x до 4x, щоб отримати 9x.

$$9x-10-x^{2}-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Відніміть 3 від -10, щоб отримати -13.

$$9x-13-x^{2}=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 7 на x-3.

$$9x-13-x^{2}=\left(7x-21\right)\left(x-2\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 7x-21 на x-2 і звести подібні члени.

$$9x-13-x^{2}=7x^{2}-35x+42$$

Відніміть 7x^{2} з обох сторін.

$$9x-13-x^{2}-7x^{2}=-35x+42$$

Додайте -x^{2} до -7x^{2}, щоб отримати -8x^{2}.

$$9x-13-8x^{2}=-35x+42$$

Додайте 35x до обох сторін.

$$9x-13-8x^{2}+35x=42$$

Додайте 9x до 35x, щоб отримати 44x.

$$44x-13-8x^{2}=42$$

Додайте 13 до обох сторін.

$$44x-8x^{2}=42+13$$

Додайте 42 до 13, щоб обчислити 55.

$$44x-8x^{2}=55$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-8x^{2}+44x=55$$

Розділіть обидві сторони на -8.

$$\frac{-8x^{2}+44x}{-8}=\frac{55}{-8}$$

Ділення на -8 скасовує множення на -8.

$$x^{2}+\frac{44}{-8}x=\frac{55}{-8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{44}{-8} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{55}{-8}$$

Розділіть 55 на -8.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-\frac{55}{8}$$

Поділіть -\frac{11}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{11}{4}. Потім додайте -\frac{11}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{55}{8}+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{11}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-\frac{55}{8}+\frac{121}{16}$$

Щоб додати -\frac{55}{8} до \frac{121}{16}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{11}{16}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{11}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{11}}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{11}}{4}$$

Додайте \frac{11}{4} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{11}+11}{4} x=\frac{11-\sqrt{11}}{4}$$