Розв'яжіть 1-i/sqrt{2-i}

$$\frac { 1 - i } { \sqrt { 2 } - i }$$

Обчислити

$$\sqrt{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}i\right)\approx 0,804737854-0,138071187i$$

Покрокове розв’язання

Звільніться від ірраціональності в знаменнику \frac{1-i}{\sqrt{2}-i}, помноживши чисельник і знаменник на \sqrt{2}+i.

$$\frac{\left(1-i\right)\left(\sqrt{2}+i\right)}{\left(\sqrt{2}-i\right)\left(\sqrt{2}+i\right)}$$

Розглянемо \left(\sqrt{2}-i\right)\left(\sqrt{2}+i\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(1-i\right)\left(\sqrt{2}+i\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(-i\right)^{2}}$$

Піднесіть \sqrt{2} до квадрата. Піднесіть -i до квадрата.

$$\frac{\left(1-i\right)\left(\sqrt{2}+i\right)}{2+1}$$

Відніміть -1 від 2, щоб отримати 3.

$$\frac{\left(1-i\right)\left(\sqrt{2}+i\right)}{3}$$

Розділіть \left(1-i\right)\left(\sqrt{2}+i\right) на 3, щоб отримати \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i\right)\left(\sqrt{2}+i\right).

$$\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i\right)\left(\sqrt{2}+i\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити \frac{1}{3}-\frac{1}{3}i на \sqrt{2}+i.

$$\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i\right)\sqrt{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}i\right)$$

Дійсна частина

$$\frac{\sqrt{2} + 1}{3} = 0,8047378541243649$$