Розв'яжіть 1/x+1+2/x-1=x^2+2x/x^2-1

$$\frac { 1 } { x + 1 } + \frac { 2 } { x - 1 } = \frac { x ^ { 2 } + 2 x } { x ^ { 2 } - 1 }$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618033989$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -1,1, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на \left(x-1\right)\left(x+1\right) (найменше спільне кратне для x+1,x-1,x^{2}-1).

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x+1 на 2.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Додайте x до 2x, щоб отримати 3x.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Додайте -1 до 2, щоб обчислити 1.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Відніміть 2x з обох сторін.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Додайте 3x до -2x, щоб отримати x.

$$x+1-x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-x^{2}+x+1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, 1 замість b і 1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Піднесіть 1 до квадрата.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Додайте 1 до 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} за додатного значення ±. Додайте -1 до \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Розділіть -1+\sqrt{5} на -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{5} від -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Розділіть -1-\sqrt{5} на -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -1,1, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на \left(x-1\right)\left(x+1\right) (найменше спільне кратне для x+1,x-1,x^{2}-1).

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x+1 на 2.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Додайте x до 2x, щоб отримати 3x.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Додайте -1 до 2, щоб обчислити 1.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Відніміть 2x з обох сторін.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Додайте 3x до -2x, щоб отримати x.

$$x+1-x^{2}=0$$

Відніміть 1 з обох сторін. Якщо відняти будь-яке число від нуля, ви отримаєте його протилежне за знаком число.

$$x-x^{2}=-1$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+x=-1$$

Розділіть обидві сторони на -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

Ділення на -1 скасовує множення на -1.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

Розділіть 1 на -1.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-1}$$

Розділіть -1 на -1.

$$x^{2}-x=1$$

Поділіть -1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{2}. Потім додайте -\frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Додайте 1 до \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Розкладіть x^{2}-x+\frac{1}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Додайте \frac{1}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$