Розв'яжіть 1/n-1/n+1

$$\frac { 1 } { n } - \frac { 1 } { n + 1 }$$

Обчислити

$$\frac{1}{n\left(n+1\right)}$$

Стислі кроки з розв’язання

Щоб додавати або віднімати вирази, розкрийте дужки та приведіть їх до спільного знаменника. Найменше спільне кратне чисел n та n+1 – це n\left(n+1\right). Помножте \frac{1}{n} на \frac{n+1}{n+1}. Помножте \frac{1}{n+1} на \frac{n}{n}.

$$\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}-\frac{n}{n\left(n+1\right)}$$

Оскільки знаменник дробів \frac{n+1}{n\left(n+1\right)} і \frac{n}{n\left(n+1\right)} збігається, щоб знайти їх різницю, достатньо відняти чисельники один від одного.

$$\frac{n+1-n}{n\left(n+1\right)}$$

Зведіть подібні члени у виразі n+1-n.

$$\frac{1}{n\left(n+1\right)}$$

Розкладіть n\left(n+1\right)

$$\frac{1}{n^{2}+n}$$

Диференціювати за n

$$-\frac{2n+1}{\left(n\left(n+1\right)\right)^{2}}$$

Покрокові інструкції з використання правила для похідної складної функції

Щоб додавати або віднімати вирази, розкрийте дужки та приведіть їх до спільного знаменника. Найменше спільне кратне чисел n та n+1 – це n\left(n+1\right). Помножте \frac{1}{n} на \frac{n+1}{n+1}. Помножте \frac{1}{n+1} на \frac{n}{n}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}-\frac{n}{n\left(n+1\right)})$$

Оскільки знаменник дробів \frac{n+1}{n\left(n+1\right)} і \frac{n}{n\left(n+1\right)} збігається, щоб знайти їх різницю, достатньо відняти чисельники один від одного.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{n+1-n}{n\left(n+1\right)})$$

Зведіть подібні члени у виразі n+1-n.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{1}{n\left(n+1\right)})$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити n на n+1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{1}{n^{2}+n})$$

Якщо F – складна функція з двох диференційовних функцій f\left(u\right) і u=g\left(x\right), тобто F\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right), то похідна F дорівнює похідній f за u, помноженій на похідну g за x: \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(F)\left(x\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)\left(g\left(x\right)\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(g)\left(x\right).

$$-\left(n^{2}+n^{1}\right)^{-1-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(n^{2}+n^{1})$$

Похідна многочлена дорівнює сумі похідних його доданків. Похідна константи дорівнює 0. Похідна ax^{n} дорівнює nax^{n-1}.

$$-\left(n^{2}+n^{1}\right)^{-2}\left(2n^{2-1}+n^{1-1}\right)$$

Виконайте спрощення.

$$\left(n^{2}+n^{1}\right)^{-2}\left(-2n^{1}-n^{0}\right)$$

Для будь-якого члена t дійсне таке правило: t^{1}=t.

$$\left(n^{2}+n\right)^{-2}\left(-2n-n^{0}\right)$$

Для будь-якого члена t, окрім 0, t^{0}=1.

$$\left(n^{2}+n\right)^{-2}\left(-2n-1\right)$$