Розв'яжіть frac{1+sqrt{5}}{sqrt{5}-2}

$$\frac { 1 + \sqrt { 5 } } { \sqrt { 5 } - 2 }$$

Обчислити

$$3\sqrt{5}+7\approx 13,708203932$$

Покрокове розв’язання

Звільніться від ірраціональності в знаменнику \frac{1+\sqrt{5}}{\sqrt{5}-2}, помноживши чисельник і знаменник на \sqrt{5}+2.

$$\frac{\left(1+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}+2\right)}{\left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+2\right)}$$

Розглянемо \left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+2\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(1+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}+2\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-2^{2}}$$

Піднесіть \sqrt{5} до квадрата. Піднесіть 2 до квадрата.

$$\frac{\left(1+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}+2\right)}{5-4}$$

Відніміть 4 від 5, щоб отримати 1.

$$\frac{\left(1+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}+2\right)}{1}$$

Результат ділення будь-якого числа на одиницю дорівнює самому числу.

$$\left(1+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}+2\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності: помножте кожен член 1+\sqrt{5} на кожен член \sqrt{5}+2.

$$\sqrt{5}+2+\left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{5}$$

Квадрат \sqrt{5} дорівнює 5.

$$\sqrt{5}+2+5+2\sqrt{5}$$

Додайте 2 до 5, щоб обчислити 7.

$$\sqrt{5}+7+2\sqrt{5}$$

Додайте \sqrt{5} до 2\sqrt{5}, щоб отримати 3\sqrt{5}.

$$3\sqrt{5}+7$$