Розв'яжіть frac{sqrt{3}-1}{sqrt{3}+1}=a+bsqrt{3}

$$\frac { \sqrt { 3 } - 1 } { \sqrt { 3 } + 1 } = a + b \sqrt { 3 }$$

Знайдіть b

$$b=-\frac{\sqrt{3}\left(a+\sqrt{3}-2\right)}{3}$$

Покрокові інструкції з розв’язання лінійного рівняння

Звільніться від ірраціональності в знаменнику \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}, помноживши чисельник і знаменник на \sqrt{3}-1.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}=a+b\sqrt{3}$$

Розглянемо \left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

Піднесіть \sqrt{3} до квадрата. Піднесіть 1 до квадрата.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}=a+b\sqrt{3}$$

Відніміть 1 від 3, щоб отримати 2.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Помножте \sqrt{3}-1 на \sqrt{3}-1, щоб отримати \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}+1}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Квадрат \sqrt{3} дорівнює 3.

$$\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Додайте 3 до 1, щоб обчислити 4.

$$\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Поділіть кожен член виразу 4-2\sqrt{3} на 2, щоб отримати 2-\sqrt{3}.

$$2-\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$$

Перенесіть усі змінні члени до лівої частини рівняння.

$$a+b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$$

Відніміть a з обох сторін.

$$b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}-a$$

Рівняння має стандартну форму.

$$\sqrt{3}b=-a+2-\sqrt{3}$$

Розділіть обидві сторони на \sqrt{3}.

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

Ділення на \sqrt{3} скасовує множення на \sqrt{3}.

$$b=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

Розділіть -\sqrt{3}-a+2 на \sqrt{3}.

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+2-\sqrt{3}\right)}{3}$$

Знайдіть a

$$a=-\sqrt{3}b+2-\sqrt{3}$$