Розв'яжіть frac{sqrt{10}+sqrt{15}}{sqrt{2}+sqrt{3}}

$$\frac { \sqrt { 10 } + \sqrt { 15 } } { \sqrt { 2 } + \sqrt { 3 } }$$

Обчислити

$$\sqrt{5}\approx 2,236067977$$

Покрокове розв’язання

Звільніться від ірраціональності в знаменнику \frac{\sqrt{10}+\sqrt{15}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}, помноживши чисельник і знаменник на \sqrt{2}-\sqrt{3}.

$$\frac{\left(\sqrt{10}+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}$$

Розглянемо \left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{10}+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Піднесіть \sqrt{2} до квадрата. Піднесіть \sqrt{3} до квадрата.

$$\frac{\left(\sqrt{10}+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{2-3}$$

Відніміть 3 від 2, щоб отримати -1.

$$\frac{\left(\sqrt{10}+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{-1}$$

Якщо поділити число на –1, ви отримаєте протилежне число.

$$-\left(\sqrt{10}+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності: помножте кожен член \sqrt{10}+\sqrt{15} на кожен член \sqrt{2}-\sqrt{3}.

$$-\left(\sqrt{10}\sqrt{2}-\sqrt{10}\sqrt{3}+\sqrt{15}\sqrt{2}-\sqrt{15}\sqrt{3}\right)$$

Розкладіть 10=2\times 5 на множники. Перепишіть квадратний корінь продукту \sqrt{2\times 5} як добуток у квадратних коренів \sqrt{2}\sqrt{5}.

$$-\left(\sqrt{2}\sqrt{5}\sqrt{2}-\sqrt{10}\sqrt{3}+\sqrt{15}\sqrt{2}-\sqrt{15}\sqrt{3}\right)$$

Помножте \sqrt{2} на \sqrt{2}, щоб отримати 2.

$$-\left(2\sqrt{5}-\sqrt{10}\sqrt{3}+\sqrt{15}\sqrt{2}-\sqrt{15}\sqrt{3}\right)$$

Щоб перемножте \sqrt{10} та \sqrt{3}, перемножте номери в квадратних корені.

$$-\left(2\sqrt{5}-\sqrt{30}+\sqrt{15}\sqrt{2}-\sqrt{15}\sqrt{3}\right)$$

Щоб перемножте \sqrt{15} та \sqrt{2}, перемножте номери в квадратних корені.

$$-\left(2\sqrt{5}-\sqrt{30}+\sqrt{30}-\sqrt{15}\sqrt{3}\right)$$

Додайте -\sqrt{30} до \sqrt{30}, щоб отримати 0.

$$-\left(2\sqrt{5}-\sqrt{15}\sqrt{3}\right)$$

Розкладіть 15=3\times 5 на множники. Перепишіть квадратний корінь продукту \sqrt{3\times 5} як добуток у квадратних коренів \sqrt{3}\sqrt{5}.

$$-\left(2\sqrt{5}-\sqrt{3}\sqrt{5}\sqrt{3}\right)$$

Помножте \sqrt{3} на \sqrt{3}, щоб отримати 3.

$$-\left(2\sqrt{5}-3\sqrt{5}\right)$$

Додайте 2\sqrt{5} до -3\sqrt{5}, щоб отримати -\sqrt{5}.

$$-\left(-\sqrt{5}\right)$$

Число, протилежне до -\sqrt{5}, дорівнює \sqrt{5}.

$$\sqrt{5}$$