{l}{5x+3y=97}{2x+12y=109} ھەل قىلىش

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 97 } \\ { 2 x + 12 y = 109 } \end{array} \right.$$

x، y نى يېشىش

$$x = \frac{31}{2} = 15\frac{1}{2} = 15.5$$

$$y = \frac{13}{2} = 6\frac{1}{2} = 6.5$$

ئالماشتۇرۇش باسقۇچلىرى

بىر جۈپ تەڭلىمىنى ئالماشتۇرۇش ئۇسۇلى ئارقىلىق يېشىش ئۈچۈن بىر تەڭلىمىدىكى بىر ئۆزگەرگۈچى مىقدارنى تېپىڭ. ئاندىن نەتىجىنى يەنە بىر تەڭلىمىدىكى شۇ ئۆزگەرگۈچى مىقدارغا ئالماشتۇرۇڭ.

$$5x+3y=97,2x+12y=109$$

تەڭلىمىدىن بىرنى تالاپ، x نى تەڭلىك بەلگىسىنىڭ سول تەرىپىدە يالغۇز قالدۇرۇش ئارقىلىق x نىڭ قىممىتىنى تېپىپ، تەڭلىمىنى يېشىڭ.

$$5x+3y=97$$

تەڭلىمىنىڭ ھەر ئىككى تەرىپىدىن 3y نى ئېلىڭ.

$$5x=-3y+97$$

ھەر ئىككى تەرەپنى 5 گە بۆلۈڭ.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+97\right)$$

\frac{1}{5} نى -3y+97 كە كۆپەيتىڭ.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{97}{5}$$

يەنە بىر تەڭلىمە 2x+12y=109 دىكى x نىڭ ئورنىغا \frac{-3y+97}{5} نى ئالماشتۇرۇڭ.

$$2\left(-\frac{3}{5}y+\frac{97}{5}\right)+12y=109$$

2 نى \frac{-3y+97}{5} كە كۆپەيتىڭ.

$$-\frac{6}{5}y+\frac{194}{5}+12y=109$$

-\frac{6y}{5} نى 12y گە قوشۇڭ.

$$\frac{54}{5}y+\frac{194}{5}=109$$

تەڭلىمىنىڭ ھەر ئىككى تەرىپىدىن \frac{194}{5} نى ئېلىڭ.

$$\frac{54}{5}y=\frac{351}{5}$$

تەڭلىمىنىڭ ھەر ئىككى تەرىپىنى \frac{54}{5} گە، يەنى كەسىرنىڭ ئەكس سانى ئارقىلىق ھەر ئىككى تەرەپنى كۆپەيتىدىغان سانغا بۆلۈڭ.

$$y=\frac{13}{2}$$

x=-\frac{3}{5}y+\frac{97}{5} دە \frac{13}{2} نى y گە ئالماشتۇرۇڭ. كېلىپ چىققان تەڭلىمىدە بىرلا ئۆزگەرگۈچى مىقدار بولىدۇ، x نى بىۋاسىتە يېشەلەيسىز.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{13}{2}+\frac{97}{5}$$

سۈرەتنى سۈرەتكە، مەخرەجنى مەخرەجگە كۆپەيتىش ئارقىلىق -\frac{3}{5} نى \frac{13}{2} گە كۆپەيتىڭ. ئاندىن كەسىرنى ئىمكانىيەتنىڭ بارىچە ئاددىيلاشتۇرۇڭ.

$$x=-\frac{39}{10}+\frac{97}{5}$$

ئومۇمىي مەخرەجنى تېپىپ، سۈرەتنى قوشۇش ئارقىلىق \frac{97}{5} نى -\frac{39}{10} گە قوشۇڭ. ئاندىن كەسىرنى ئىمكانىيەتنىڭ بارىچە كىچىكلىتىڭ.

$$x=\frac{31}{2}$$

سىستېما ھەل قىلىندى.

$$x=\frac{31}{2},y=\frac{13}{2}$$

ماترىتسا ئىشلىتىش باسقۇچلىرى

تەڭلىمىنى ئۆلچەملىك شەكىلدە قىلىپ، ماترىتسا ئارقىلىق تەڭلىمە سىستېمىسىنى يېشىڭ.

$$5x+3y=97,2x+12y=109$$

تەڭلىمىلەرنى ماترىتسا شەكلىدە يېزىڭ.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}97\\109\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&3\\2&12\end{matrix}\right) نىڭ تەتۈر ماترىتساسى ئارقىلىق تەڭلىمىنىڭ سول تەرىپىنى كۆپەيتىڭ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\109\end{matrix}\right)$$

ماترىتسا ۋە ئۇنىڭ تەتۈرىنىڭ ھاسىلاتى بىرلىك ماترىتسادۇر.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\109\end{matrix}\right)$$

تەڭلىك بەلگىسىنىڭ سول تەرىپىدىكى ماترىتسالارنى كۆپەيتىڭ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\109\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ماترىتسا \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) نىڭ ئەكسى ماترىتساسى \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، شۇڭا ماترىتسا تەڭلىمىسىنى ماترىتسا كۆپەيتىش مەسىلىسى سۈپىتىدە قايتا يېزىشقا بولىدۇ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{5\times 12-3\times 2}&-\frac{3}{5\times 12-3\times 2}\\-\frac{2}{5\times 12-3\times 2}&\frac{5}{5\times 12-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\109\end{matrix}\right)$$

ھېسابلاڭ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&-\frac{1}{18}\\-\frac{1}{27}&\frac{5}{54}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\109\end{matrix}\right)$$

ماترىتسالارنى كۆپەيتىڭ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 97-\frac{1}{18}\times 109\\-\frac{1}{27}\times 97+\frac{5}{54}\times 109\end{matrix}\right)$$

ھېسابلاڭ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{2}\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

ماترىتسا ئېلېمېنتلىرى x ۋە y نى يېيىڭ.

$$x=\frac{31}{2},y=\frac{13}{2}$$

قىسقارتىش باسقۇچلىرى

قىسقارتىپ يېشىش ئۈچۈن ھەر ئىككى تەڭلىمىدىكى بىر ئۆزگەرگۈچى مىقدارنىڭ كوئېففىتسېنتى بىر تەڭلىمىنى يەنە بىر تەڭلىمىدىن ئالغاندا ئۆزگەرگۈچى سان يېيىشىپ يوقايدىغان ھالەتتە ئوخشاش بولۇشى كېرەك.

$$5x+3y=97,2x+12y=109$$

5x بىلەن 2x نى تەڭ قىلىش ئۈچۈن بىرىنچى تەڭلىمىنىڭ ھەر ئىككى تەرىپىدىكى بارلىق ئەزالارنى 2 گە، ئىككىنچى تەڭلىمىدىكى بارلىق ئەزالارنى 5 گە كۆپەيتىڭ.

$$2\times 5x+2\times 3y=2\times 97,5\times 2x+5\times 12y=5\times 109$$

ئاددىيلاشتۇرۇڭ.

$$10x+6y=194,10x+60y=545$$

تەڭلىك بەلگىسىنىڭ ھەر ئىككى تەرىپىدىن بىر خىل ئەزالارنى ئېلىش ئارقىلىق 10x+6y=194 دىن 10x+60y=545 نى ئېلىڭ.

$$10x-10x+6y-60y=194-545$$

10x نى -10x گە قوشۇڭ. 10x بىلەن -10x يېيىشىپ، تەڭلىمىدە يەشكىلى بولىدىغان بىرلا ئۆزگەرگۈچى سان قالدۇرىدۇ.

$$6y-60y=194-545$$

6y نى -60y گە قوشۇڭ.

$$-54y=194-545$$

194 نى -545 گە قوشۇڭ.

$$-54y=-351$$

ھەر ئىككى تەرەپنى -54 گە بۆلۈڭ.

$$y=\frac{13}{2}$$

2x+12y=109 دە \frac{13}{2} نى y گە ئالماشتۇرۇڭ. كېلىپ چىققان تەڭلىمىدە بىرلا ئۆزگەرگۈچى مىقدار بولىدۇ، x نى بىۋاسىتە يېشەلەيسىز.

$$2x+12\times \frac{13}{2}=109$$

12 نى \frac{13}{2} كە كۆپەيتىڭ.

$$2x+78=109$$

تەڭلىمىنىڭ ھەر ئىككى تەرىپىدىن 78 نى ئېلىڭ.

$$2x=31$$

ھەر ئىككى تەرەپنى 2 گە بۆلۈڭ.

$$x=\frac{31}{2}$$

سىستېما ھەل قىلىندى.

$$x=\frac{31}{2},y=\frac{13}{2}$$