{l}{y=kx+b}{x^2/4+y^2=1} ھەل قىلىش

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = k x + b } \\ { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

x، y نى يېشىش

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{-2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}$$

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{, }|k|\geq \frac{\sqrt{b^{2}-1}}{2}\text{ or }|b|<1$$

ئالماشتۇرۇش ۋە كىۋادراتلىق فورمۇلا ئىشلىتىش باسقۇچلىرى

بىرىنچى تەڭلىمىنى ئويلىشىپ بېقىڭ. ھەر ئىككى تەرەپتىن kx نى ئېلىڭ.

$$y-kx=b$$

ئىككىنچى تەڭلىمىنى ئويلىشىپ بېقىڭ. تەڭلىمىنىڭ ھەر ئىككى تەرىپىنى 4 گە كۆپەيتىڭ.

$$x^{2}+4y^{2}=4$$

بىر جۈپ تەڭلىمىنى ئالماشتۇرۇش ئۇسۇلى ئارقىلىق يېشىش ئۈچۈن بىر تەڭلىمىدىكى بىر ئۆزگەرگۈچى مىقدارنى تېپىڭ. ئاندىن نەتىجىنى يەنە بىر تەڭلىمىدىكى شۇ ئۆزگەرگۈچى مىقدارغا ئالماشتۇرۇڭ.

$$y+\left(-k\right)x=b,x^{2}+4y^{2}=4$$

y نى تەڭلىكنىڭ سول تەرىپىدە يالغۇز قالدۇرۇش ئارقىلىق y نىڭ قىممىتىنى تېپىپ، y+\left(-k\right)x=b نى يېشىڭ.

$$y+\left(-k\right)x=b$$

تەڭلىمىنىڭ ھەر ئىككى تەرىپىدىن \left(-k\right)x نى ئېلىڭ.

$$y=kx+b$$

يەنە بىر تەڭلىمە x^{2}+4y^{2}=4 دىكى y نىڭ ئورنىغا kx+b نى ئالماشتۇرۇڭ.

$$x^{2}+4\left(kx+b\right)^{2}=4$$

kx+b نىڭ كىۋادراتىنى تېپىڭ.

$$x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2}\right)=4$$

4 نى k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2} كە كۆپەيتىڭ.

$$x^{2}+4k^{2}x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

x^{2} نى 4k^{2}x^{2} گە قوشۇڭ.

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

تەڭلىمىنىڭ ھەر ئىككى تەرىپىدىن 4 نى ئېلىڭ.

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}-4=0$$

بۇ تەڭلىمە ئۆلچەملىك شەكىلدە: ax^{2}+bx+c=0. كىۋادراتلىق فورمۇلا \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} دا 1+4k^{2} نى a گە، 4\times 2kb نى b گە ۋە -4+4b^{2} نى c گە ئالماشتۇرۇڭ.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{\left(8bk\right)^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

4\times 2kb نىڭ كىۋادراتىنى تېپىڭ.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-4 نى 1+4k^{2} كە كۆپەيتىڭ.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}+\left(-16k^{2}-4\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-4-16k^{2} نى -4+4b^{2} كە كۆپەيتىڭ.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-16\left(b^{2}-1\right)\left(4k^{2}+1\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

64k^{2}b^{2} نى -16\left(1+4k^{2}\right)\left(b^{2}-1\right) گە قوشۇڭ.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{16+64k^{2}-16b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-16b^{2}+64k^{2}+16 نىڭ كىۋادرات يىلتىزىنى چىقىرىڭ.

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

2 نى 1+4k^{2} كە كۆپەيتىڭ.

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

± پىلۇس بولغاندىكى تەڭلىمە x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2} نى يېشىڭ. -8kb نى 4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} گە قوشۇڭ.

$$x=\frac{-8bk+4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

-8bk+4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} نى 2+8k^{2} كە بۆلۈڭ.

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

± مىنۇس بولغاندىكى تەڭلىمە x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2} نى يېشىڭ. -8kb دىن 4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} نى ئېلىڭ.

$$x=\frac{-8bk-4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

-8kb-4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} نى 2+8k^{2} كە بۆلۈڭ.

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

x نىڭ ئىككى يېشىش ئۇسۇلى بار: \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} ۋە -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}. تەڭلىمە y=kx+b دىكى x نىڭ ئورنىغا \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} نى ئالماشتۇرۇپ، y نىڭ ھەر ئىككى تەڭلىمىنى قانائەتلەندۈرىدىغان يېشىمىنى تېپىڭ.

$$y=k\times \frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}+b$$

k نى \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} كە كۆپەيتىڭ.

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b$$

ئەمدى تەڭلىمە y=kx+b دىكى x نىڭ ئورنىغا -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} نى ئالماشتۇرۇپ، y نىڭ ھەر ئىككى تەڭلىمىنى قانائەتلەندۈرىدىغان يېشىمىنى تېپىڭ.

$$y=k\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)+b$$

k نى -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} كە كۆپەيتىڭ.

$$y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b$$

سىستېما ھەل قىلىندى.

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b,x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b,x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

x، y نى يېشىش (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{-2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{; }x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{, }&k\neq -\frac{1}{2}i\text{ and }k\neq \frac{1}{2}i\\x=-\frac{b^{2}-1}{2bk}\text{, }y=\frac{b^{2}+1}{2b}\text{, }&b\neq 0\text{ and }\left(k=-\frac{1}{2}i\text{ or }k=\frac{1}{2}i\right)\end{matrix}\right.$$