4x-5y=2text{and}x+10y=41 хәл итегез

$$4 x - 5 y = 2 \text { and } x + 10 y = 41$$

x, y өчен чишелеш

$$x=5$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$4x-5y=2$$

Тигезләмәнең ике ягына 5y өстәгез.

$$4x=5y+2$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+2\right)$$

\frac{1}{4}'ны 5y+2 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{5y}{4}+\frac{1}{2} куегыз, x+10y=41.

$$\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}+10y=41$$

\frac{5y}{4}'ны 10y'га өстәгез.

$$\frac{45}{4}y+\frac{1}{2}=41$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{1}{2} алыгыз.

$$\frac{45}{4}y=\frac{81}{2}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{45}{4} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{18}{5}$$

\frac{18}{5}'ны y өчен x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{5}{4}\times \frac{18}{5}+\frac{1}{2}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, \frac{5}{4}'ны \frac{18}{5} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{9+1}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{1}{2}'ны \frac{9}{2}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=5$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{4\times 10-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{4\times 10-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{4\times 10-\left(-5\right)}&\frac{4}{4\times 10-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{45}&\frac{4}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 2+\frac{1}{9}\times 41\\-\frac{1}{45}\times 2+\frac{4}{45}\times 41\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

4x һәм x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га тапкырлагыз.

$$4x-5y=2,4x+4\times 10y=4\times 41$$

Гадиләштерегез.

$$4x-5y=2,4x+40y=164$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 4x+40y=164'ны 4x-5y=2'нан алыгыз.

$$4x-4x-5y-40y=2-164$$

4x'ны -4x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 4x һәм -4x шартлар кыскартылган.

$$-5y-40y=2-164$$

-5y'ны -40y'га өстәгез.

$$-45y=2-164$$

2'ны -164'га өстәгез.

$$-45y=-162$$

Ике якны -45-га бүлегез.

$$y=\frac{18}{5}$$

\frac{18}{5}'ны y өчен x+10y=41'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x+10\times \frac{18}{5}=41$$

10'ны \frac{18}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$x+36=41$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 36 алыгыз.

$$x=5$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$