18x+11y=522text{and}10x=112-16y хәл итегез

$$18 x + 11 y = 522 \text { and } 10 x = 112 - 16 y$$

x, y өчен чишелеш

$$x=40$$

$$y=-18$$

Алыштыруны куллану адымнары

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. Ике як өчен 16y өстәгез.

$$10x+16y=112$$

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$18x+11y=522,10x+16y=112$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$18x+11y=522$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 11y алыгыз.

$$18x=-11y+522$$

Ике якны 18-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{18}\left(-11y+522\right)$$

\frac{1}{18}'ны -11y+522 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{11}{18}y+29$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{11y}{18}+29 куегыз, 10x+16y=112.

$$10\left(-\frac{11}{18}y+29\right)+16y=112$$

10'ны -\frac{11y}{18}+29 тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{55}{9}y+290+16y=112$$

-\frac{55y}{9}'ны 16y'га өстәгез.

$$\frac{89}{9}y+290=112$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 290 алыгыз.

$$\frac{89}{9}y=-178$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{89}{9} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-18$$

-18'ны y өчен x=-\frac{11}{18}y+29'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{11}{18}\left(-18\right)+29$$

-\frac{11}{18}'ны -18 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=11+29$$

29'ны 11'га өстәгез.

$$x=40$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=40,y=-18$$

Матрицаларны куллану адымнары

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. Ике як өчен 16y өстәгез.

$$10x+16y=112$$

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$18x+11y=522,10x+16y=112$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{18\times 16-11\times 10}&-\frac{11}{18\times 16-11\times 10}\\-\frac{10}{18\times 16-11\times 10}&\frac{18}{18\times 16-11\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{89}&-\frac{11}{178}\\-\frac{5}{89}&\frac{9}{89}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{89}\times 522-\frac{11}{178}\times 112\\-\frac{5}{89}\times 522+\frac{9}{89}\times 112\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\-18\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=40,y=-18$$

Бетерүне куллану адымнары

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. Ике як өчен 16y өстәгез.

$$10x+16y=112$$

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$18x+11y=522,10x+16y=112$$

18x һәм 10x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 10'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 18'га тапкырлагыз.

$$10\times 18x+10\times 11y=10\times 522,18\times 10x+18\times 16y=18\times 112$$

Гадиләштерегез.

$$180x+110y=5220,180x+288y=2016$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 180x+288y=2016'ны 180x+110y=5220'нан алыгыз.

$$180x-180x+110y-288y=5220-2016$$

180x'ны -180x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 180x һәм -180x шартлар кыскартылган.

$$110y-288y=5220-2016$$

110y'ны -288y'га өстәгез.

$$-178y=5220-2016$$

5220'ны -2016'га өстәгез.

$$-178y=3204$$

Ике якны -178-га бүлегез.

$$y=-18$$

-18'ны y өчен 10x+16y=112'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$10x+16\left(-18\right)=112$$

16'ны -18 тапкыр тапкырлагыз.

$$10x-288=112$$

Тигезләмәнең ике ягына 288 өстәгез.

$$10x=400$$

Ике якны 10-га бүлегез.

$$x=40$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=40,y=-18$$