{l}{5x-y=3}{-2x+4y=-12} хәл итегез

$$\left.\begin{array} { l } { 5 x - y = 3 } \\ { - 2 x + 4 y = - 12 } \end{array} \right\}$$

x, y өчен чишелеш

$$x=0$$

$$y=-3$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$5x-y=3,-2x+4y=-12$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$5x-y=3$$

Тигезләмәнең ике ягына y өстәгез.

$$5x=y+3$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+3\right)$$

\frac{1}{5}'ны y+3 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{3+y}{5} куегыз, -2x+4y=-12.

$$-2\left(\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}\right)+4y=-12$$

-2'ны \frac{3+y}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}+4y=-12$$

-\frac{2y}{5}'ны 4y'га өстәгез.

$$\frac{18}{5}y-\frac{6}{5}=-12$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{6}{5} өстәгез.

$$\frac{18}{5}y=-\frac{54}{5}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{18}{5} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-3$$

-3'ны y өчен x=\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{3}{5}$$

\frac{1}{5}'ны -3 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-3+3}{5}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{3}{5}'ны -\frac{3}{5}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=0$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=0,y=-3$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$5x-y=3,-2x+4y=-12$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-12\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-12\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-12\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{18}\\\frac{1}{9}&\frac{5}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-12\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 3+\frac{1}{18}\left(-12\right)\\\frac{1}{9}\times 3+\frac{5}{18}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=0,y=-3$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$5x-y=3,-2x+4y=-12$$

5x һәм -2x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны -2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га тапкырлагыз.

$$-2\times 5x-2\left(-1\right)y=-2\times 3,5\left(-2\right)x+5\times 4y=5\left(-12\right)$$

Гадиләштерегез.

$$-10x+2y=-6,-10x+20y=-60$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, -10x+20y=-60'ны -10x+2y=-6'нан алыгыз.

$$-10x+10x+2y-20y=-6+60$$

-10x'ны 10x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, -10x һәм 10x шартлар кыскартылган.

$$2y-20y=-6+60$$

2y'ны -20y'га өстәгез.

$$-18y=-6+60$$

-6'ны 60'га өстәгез.

$$-18y=54$$

Ике якны -18-га бүлегез.

$$y=-3$$

-3'ны y өчен -2x+4y=-12'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$-2x+4\left(-3\right)=-12$$

4'ны -3 тапкыр тапкырлагыз.

$$-2x-12=-12$$

Тигезләмәнең ике ягына 12 өстәгез.

$$-2x=0$$

Ике якны -2-га бүлегез.

$$x=0$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=0,y=-3$$