{r}{32x+3y=5}{3x+2y=70} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { r } { 32 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = -\frac{40}{11} = -3\frac{7}{11} \approx -3.636363636$$

$$y = \frac{445}{11} = 40\frac{5}{11} \approx 40.454545455$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$32x+3y=5$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3y алыгыз.

$$32x=-3y+5$$

Ике якны 32-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{32}\left(-3y+5\right)$$

\frac{1}{32}'ны -3y+5 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-3y+5}{32} куегыз, 3x+2y=70.

$$3\left(-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}\right)+2y=70$$

3'ны \frac{-3y+5}{32} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{9}{32}y+\frac{15}{32}+2y=70$$

-\frac{9y}{32}'ны 2y'га өстәгез.

$$\frac{55}{32}y+\frac{15}{32}=70$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{15}{32} алыгыз.

$$\frac{55}{32}y=\frac{2225}{32}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{55}{32} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{445}{11}$$

\frac{445}{11}'ны y өчен x=-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{3}{32}\times \frac{445}{11}+\frac{5}{32}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{3}{32}'ны \frac{445}{11} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{1335}{352}+\frac{5}{32}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{5}{32}'ны -\frac{1335}{352}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{40}{11}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{32\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{32\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{32\times 2-3\times 3}&\frac{32}{32\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{55}&-\frac{3}{55}\\-\frac{3}{55}&\frac{32}{55}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{55}\times 5-\frac{3}{55}\times 70\\-\frac{3}{55}\times 5+\frac{32}{55}\times 70\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{40}{11}\\\frac{445}{11}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

32x һәм 3x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 32'га тапкырлагыз.

$$3\times 32x+3\times 3y=3\times 5,32\times 3x+32\times 2y=32\times 70$$

Гадиләштерегез.

$$96x+9y=15,96x+64y=2240$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 96x+64y=2240'ны 96x+9y=15'нан алыгыз.

$$96x-96x+9y-64y=15-2240$$

96x'ны -96x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 96x һәм -96x шартлар кыскартылган.

$$9y-64y=15-2240$$

9y'ны -64y'га өстәгез.

$$-55y=15-2240$$

15'ны -2240'га өстәгез.

$$-55y=-2225$$

Ике якны -55-га бүлегез.

$$y=\frac{445}{11}$$

\frac{445}{11}'ны y өчен 3x+2y=70'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$3x+2\times \frac{445}{11}=70$$

2'ны \frac{445}{11} тапкыр тапкырлагыз.

$$3x+\frac{890}{11}=70$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{890}{11} алыгыз.

$$3x=-\frac{120}{11}$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=-\frac{40}{11}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$