{l}{x-3y=11}{11y+4x=12} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 y = 11 } \\ { 11 y + 4 x = 12 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{157}{23} = 6\frac{19}{23} \approx 6.826086957$$

$$y = -\frac{32}{23} = -1\frac{9}{23} \approx -1.391304348$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$x-3y=11,4x+11y=12$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$x-3y=11$$

Тигезләмәнең ике ягына 3y өстәгез.

$$x=3y+11$$

Башка тигезләмәдә x урынына 3y+11 куегыз, 4x+11y=12.

$$4\left(3y+11\right)+11y=12$$

4'ны 3y+11 тапкыр тапкырлагыз.

$$12y+44+11y=12$$

12y'ны 11y'га өстәгез.

$$23y+44=12$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 44 алыгыз.

$$23y=-32$$

Ике якны 23-га бүлегез.

$$y=-\frac{32}{23}$$

-\frac{32}{23}'ны y өчен x=3y+11'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=3\left(-\frac{32}{23}\right)+11$$

3'ны -\frac{32}{23} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{96}{23}+11$$

11'ны -\frac{96}{23}'га өстәгез.

$$x=\frac{157}{23}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{157}{23},y=-\frac{32}{23}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$x-3y=11,4x+11y=12$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{11-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{11-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{11-\left(-3\times 4\right)}&\frac{1}{11-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{4}{23}&\frac{1}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{23}\times 11+\frac{3}{23}\times 12\\-\frac{4}{23}\times 11+\frac{1}{23}\times 12\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{157}{23}\\-\frac{32}{23}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{157}{23},y=-\frac{32}{23}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$x-3y=11,4x+11y=12$$

x һәм 4x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га тапкырлагыз.

$$4x+4\left(-3\right)y=4\times 11,4x+11y=12$$

Гадиләштерегез.

$$4x-12y=44,4x+11y=12$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 4x+11y=12'ны 4x-12y=44'нан алыгыз.

$$4x-4x-12y-11y=44-12$$

4x'ны -4x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 4x һәм -4x шартлар кыскартылган.

$$-12y-11y=44-12$$

-12y'ны -11y'га өстәгез.

$$-23y=44-12$$

44'ны -12'га өстәгез.

$$-23y=32$$

Ике якны -23-га бүлегез.

$$y=-\frac{32}{23}$$

-\frac{32}{23}'ны y өчен 4x+11y=12'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$4x+11\left(-\frac{32}{23}\right)=12$$

11'ны -\frac{32}{23} тапкыр тапкырлагыз.

$$4x-\frac{352}{23}=12$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{352}{23} өстәгез.

$$4x=\frac{628}{23}$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=\frac{157}{23}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{157}{23},y=-\frac{32}{23}$$