{l}{mx-ny=m^2+n^2}{x+y=2m} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { m x - n y = m ^ { 2 } + n ^ { 2 } } \\ { x + y = 2 m } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

Тигезләмәнең ике ягына ny өстәгез.

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

Ике якны m-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

\frac{1}{m}'ны ny+m^{2}+n^{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} куегыз, x+y=2m.

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

\frac{ny}{m}'ны y'га өстәгез.

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

Тигезләмәнең ике ягыннан m+\frac{n^{2}}{m} алыгыз.

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

Ике якны \frac{m+n}{m}-га бүлегез.

$$y=m-n$$

m-n'ны y өчен x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

\frac{n}{m}'ны m-n тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

m+\frac{n^{2}}{m}'ны \frac{n\left(m-n\right)}{m}'га өстәгез.

$$x=m+n$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=m+n,y=m-n$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=m+n,y=m-n$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

mx һәм x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны m'га тапкырлагыз.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

Гадиләштерегез.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, mx+my=2m^{2}'ны mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}'нан алыгыз.

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

mx'ны -mx'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, mx һәм -mx шартлар кыскартылган.

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-ny'ны -my'га өстәгез.

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

m^{2}+n^{2}'ны -2m^{2}'га өстәгез.

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

Ике якны -m-n-га бүлегез.

$$y=m-n$$

m-n'ны y өчен x+y=2m'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x+m-n=2m$$

Тигезләмәнең ике ягыннан m-n алыгыз.

$$x=m+n$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=m+n,y=m-n$$

x, y өчен чишелеш

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

Тигезләмәнең ике ягына ny өстәгез.

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

Ике якны m-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

\frac{1}{m}'ны ny+m^{2}+n^{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} куегыз, x+y=2m.

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

\frac{ny}{m}'ны y'га өстәгез.

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

Тигезләмәнең ике ягыннан m+\frac{n^{2}}{m} алыгыз.

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

Ике якны \frac{m+n}{m}-га бүлегез.

$$y=m-n$$

m-n'ны y өчен x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

\frac{n}{m}'ны m-n тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

m+\frac{n^{2}}{m}'ны \frac{n\left(m-n\right)}{m}'га өстәгез.

$$x=m+n$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=m+n,y=m-n$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=m+n,y=m-n$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

mx һәм x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны m'га тапкырлагыз.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

Гадиләштерегез.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, mx+my=2m^{2}'ны mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}'нан алыгыз.

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

mx'ны -mx'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, mx һәм -mx шартлар кыскартылган.

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-ny'ны -my'га өстәгез.

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

m^{2}+n^{2}'ны -2m^{2}'га өстәгез.

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

Ике якны -m-n-га бүлегез.

$$y=m-n$$

m-n'ны y өчен x+y=2m'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x+m-n=2m$$

Тигезләмәнең ике ягыннан m-n алыгыз.

$$x=m+n$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=m+n,y=m-n$$