{l}{9x-4y=11}{x+4y=19} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 4 y = 11 } \\ { x + 4 y = 19 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=3$$

$$y=4$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$9x-4y=11,x+4y=19$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$9x-4y=11$$

Тигезләмәнең ике ягына 4y өстәгез.

$$9x=4y+11$$

Ике якны 9-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+11\right)$$

\frac{1}{9}'ны 4y+11 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{11}{9}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{4y+11}{9} куегыз, x+4y=19.

$$\frac{4}{9}y+\frac{11}{9}+4y=19$$

\frac{4y}{9}'ны 4y'га өстәгез.

$$\frac{40}{9}y+\frac{11}{9}=19$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{11}{9} алыгыз.

$$\frac{40}{9}y=\frac{160}{9}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{40}{9} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=4$$

4'ны y өчен x=\frac{4}{9}y+\frac{11}{9}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{4}{9}\times 4+\frac{11}{9}$$

\frac{4}{9}'ны 4 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{16+11}{9}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{11}{9}'ны \frac{16}{9}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=3$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=3,y=4$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$9x-4y=11,x+4y=19$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&-4\\1&4\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\19\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\19\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{9\times 4-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{9\times 4-\left(-4\right)}&\frac{9}{9\times 4-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\19\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{1}{40}&\frac{9}{40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\19\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 11+\frac{1}{10}\times 19\\-\frac{1}{40}\times 11+\frac{9}{40}\times 19\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=3,y=4$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$9x-4y=11,x+4y=19$$

9x һәм x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 9'га тапкырлагыз.

$$9x-4y=11,9x+9\times 4y=9\times 19$$

Гадиләштерегез.

$$9x-4y=11,9x+36y=171$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 9x+36y=171'ны 9x-4y=11'нан алыгыз.

$$9x-9x-4y-36y=11-171$$

9x'ны -9x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 9x һәм -9x шартлар кыскартылган.

$$-4y-36y=11-171$$

-4y'ны -36y'га өстәгез.

$$-40y=11-171$$

11'ны -171'га өстәгез.

$$-40y=-160$$

Ике якны -40-га бүлегез.

$$y=4$$

4'ны y өчен x+4y=19'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x+4\times 4=19$$

4'ны 4 тапкыр тапкырлагыз.

$$x+16=19$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 16 алыгыз.

$$x=3$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=3,y=4$$