{l}{7x+3y=1}{8x+y=3} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 3 y = 1 } \\ { 8 x + y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=\frac{8}{17}\approx 0.470588235$$

$$y=-\frac{13}{17}\approx -0.764705882$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$7x+3y=1,8x+y=3$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$7x+3y=1$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3y алыгыз.

$$7x=-3y+1$$

Ике якны 7-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{7}\left(-3y+1\right)$$

\frac{1}{7}'ны -3y+1 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3}{7}y+\frac{1}{7}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-3y+1}{7} куегыз, 8x+y=3.

$$8\left(-\frac{3}{7}y+\frac{1}{7}\right)+y=3$$

8'ны \frac{-3y+1}{7} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{24}{7}y+\frac{8}{7}+y=3$$

-\frac{24y}{7}'ны y'га өстәгез.

$$-\frac{17}{7}y+\frac{8}{7}=3$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{8}{7} алыгыз.

$$-\frac{17}{7}y=\frac{13}{7}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{17}{7} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-\frac{13}{17}$$

-\frac{13}{17}'ны y өчен x=-\frac{3}{7}y+\frac{1}{7}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{3}{7}\left(-\frac{13}{17}\right)+\frac{1}{7}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{3}{7}'ны -\frac{13}{17} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{39}{119}+\frac{1}{7}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{1}{7}'ны \frac{39}{119}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{8}{17}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{8}{17},y=-\frac{13}{17}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$7x+3y=1,8x+y=3$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}7&3\\8&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&3\\8&1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&3\\8&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-3\times 8}&-\frac{3}{7-3\times 8}\\-\frac{8}{7-3\times 8}&\frac{7}{7-3\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{8}{17}&-\frac{7}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{17}+\frac{3}{17}\times 3\\\frac{8}{17}-\frac{7}{17}\times 3\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}\\-\frac{13}{17}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{8}{17},y=-\frac{13}{17}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$7x+3y=1,8x+y=3$$

7x һәм 8x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 8'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 7'га тапкырлагыз.

$$8\times 7x+8\times 3y=8,7\times 8x+7y=7\times 3$$

Гадиләштерегез.

$$56x+24y=8,56x+7y=21$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 56x+7y=21'ны 56x+24y=8'нан алыгыз.

$$56x-56x+24y-7y=8-21$$

56x'ны -56x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 56x һәм -56x шартлар кыскартылган.

$$24y-7y=8-21$$

24y'ны -7y'га өстәгез.

$$17y=8-21$$

8'ны -21'га өстәгез.

$$17y=-13$$

Ике якны 17-га бүлегез.

$$y=-\frac{13}{17}$$

-\frac{13}{17}'ны y өчен 8x+y=3'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$8x-\frac{13}{17}=3$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{13}{17} өстәгез.

$$8x=\frac{64}{17}$$

Ике якны 8-га бүлегез.

$$x=\frac{8}{17}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{8}{17},y=-\frac{13}{17}$$