{l}{5x+3y=450.000}{3x+4y=413.000} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 450.000 } \\ { 3 x + 4 y = 413.000 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=51$$

$$y=65$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$5x+3y=450$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3y алыгыз.

$$5x=-3y+450$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+450\right)$$

\frac{1}{5}'ны -3y+450 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3}{5}y+90$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{3y}{5}+90 куегыз, 3x+4y=413.

$$3\left(-\frac{3}{5}y+90\right)+4y=413$$

3'ны -\frac{3y}{5}+90 тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{9}{5}y+270+4y=413$$

-\frac{9y}{5}'ны 4y'га өстәгез.

$$\frac{11}{5}y+270=413$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 270 алыгыз.

$$\frac{11}{5}y=143$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{11}{5} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=65$$

65'ны y өчен x=-\frac{3}{5}y+90'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{3}{5}\times 65+90$$

-\frac{3}{5}'ны 65 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-39+90$$

90'ны -39'га өстәгез.

$$x=51$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=51,y=65$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}&\frac{5}{5\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 450-\frac{3}{11}\times 413\\-\frac{3}{11}\times 450+\frac{5}{11}\times 413\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}51\\65\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=51,y=65$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

5x һәм 3x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га тапкырлагыз.

$$3\times 5x+3\times 3y=3\times 450,5\times 3x+5\times 4y=5\times 413$$

Гадиләштерегез.

$$15x+9y=1350,15x+20y=2065$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 15x+20y=2065'ны 15x+9y=1350'нан алыгыз.

$$15x-15x+9y-20y=1350-2065$$

15x'ны -15x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 15x һәм -15x шартлар кыскартылган.

$$9y-20y=1350-2065$$

9y'ны -20y'га өстәгез.

$$-11y=1350-2065$$

1350'ны -2065'га өстәгез.

$$-11y=-715$$

Ике якны -11-га бүлегез.

$$y=65$$

65'ны y өчен 3x+4y=413'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$3x+4\times 65=413$$

4'ны 65 тапкыр тапкырлагыз.

$$3x+260=413$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 260 алыгыз.

$$3x=153$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=51$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=51,y=65$$