{l}{5x+3y=2}{-3x+12y=0} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 2 } \\ { - 3 x + 12 y = 0 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=\frac{8}{23}\approx 0.347826087$$

$$y=\frac{2}{23}\approx 0.086956522$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$5x+3y=2,-3x+12y=0$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$5x+3y=2$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3y алыгыз.

$$5x=-3y+2$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+2\right)$$

\frac{1}{5}'ны -3y+2 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-3y+2}{5} куегыз, -3x+12y=0.

$$-3\left(-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+12y=0$$

-3'ны \frac{-3y+2}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{9}{5}y-\frac{6}{5}+12y=0$$

\frac{9y}{5}'ны 12y'га өстәгез.

$$\frac{69}{5}y-\frac{6}{5}=0$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{6}{5} өстәгез.

$$\frac{69}{5}y=\frac{6}{5}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{69}{5} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{2}{23}$$

\frac{2}{23}'ны y өчен x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{2}{23}+\frac{2}{5}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{3}{5}'ны \frac{2}{23} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{6}{115}+\frac{2}{5}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{2}{5}'ны -\frac{6}{115}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{8}{23}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{8}{23},y=\frac{2}{23}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$5x+3y=2,-3x+12y=0$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{5\times 12-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{5\times 12-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{5\times 12-3\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 12-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{23}&-\frac{1}{23}\\\frac{1}{23}&\frac{5}{69}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{23}\times 2\\\frac{1}{23}\times 2\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{23}\\\frac{2}{23}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{8}{23},y=\frac{2}{23}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$5x+3y=2,-3x+12y=0$$

5x һәм -3x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны -3'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га тапкырлагыз.

$$-3\times 5x-3\times 3y=-3\times 2,5\left(-3\right)x+5\times 12y=0$$

Гадиләштерегез.

$$-15x-9y=-6,-15x+60y=0$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, -15x+60y=0'ны -15x-9y=-6'нан алыгыз.

$$-15x+15x-9y-60y=-6$$

-15x'ны 15x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, -15x һәм 15x шартлар кыскартылган.

$$-9y-60y=-6$$

-9y'ны -60y'га өстәгез.

$$-69y=-6$$

Ике якны -69-га бүлегез.

$$y=\frac{2}{23}$$

\frac{2}{23}'ны y өчен -3x+12y=0'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$-3x+12\times \frac{2}{23}=0$$

12'ны \frac{2}{23} тапкыр тапкырлагыз.

$$-3x+\frac{24}{23}=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{24}{23} алыгыз.

$$-3x=-\frac{24}{23}$$

Ике якны -3-га бүлегез.

$$x=\frac{8}{23}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{8}{23},y=\frac{2}{23}$$