{l}{3x-2y=2}{5x-5y=10} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 2 } \\ { 5 x - 5 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=-2$$

$$y=-4$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x-2y=2,5x-5y=10$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x-2y=2$$

Тигезләмәнең ике ягына 2y өстәгез.

$$3x=2y+2$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+2\right)$$

\frac{1}{3}'ны 2+2y тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{2+2y}{3} куегыз, 5x-5y=10.

$$5\left(\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}\right)-5y=10$$

5'ны \frac{2+2y}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{10}{3}y+\frac{10}{3}-5y=10$$

\frac{10y}{3}'ны -5y'га өстәгез.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}=10$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{10}{3} алыгыз.

$$-\frac{5}{3}y=\frac{20}{3}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{5}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-4$$

-4'ны y өчен x=\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{2}{3}\left(-4\right)+\frac{2}{3}$$

\frac{2}{3}'ны -4 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-8+2}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{2}{3}'ны -\frac{8}{3}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-2$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-2,y=-4$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x-2y=2,5x-5y=10$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 5\right)}&\frac{3}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{2}{5}\\1&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-\frac{2}{5}\times 10\\2-\frac{3}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-2,y=-4$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x-2y=2,5x-5y=10$$

3x һәм 5x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\times 2,3\times 5x+3\left(-5\right)y=3\times 10$$

Гадиләштерегез.

$$15x-10y=10,15x-15y=30$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 15x-15y=30'ны 15x-10y=10'нан алыгыз.

$$15x-15x-10y+15y=10-30$$

15x'ны -15x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 15x һәм -15x шартлар кыскартылган.

$$-10y+15y=10-30$$

-10y'ны 15y'га өстәгез.

$$5y=10-30$$

10'ны -30'га өстәгез.

$$5y=-20$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$y=-4$$

-4'ны y өчен 5x-5y=10'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$5x-5\left(-4\right)=10$$

-5'ны -4 тапкыр тапкырлагыз.

$$5x+20=10$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 20 алыгыз.

$$5x=-10$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=-2$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-2,y=-4$$