{l}{3x=y+5}{5x-y=11} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x = y + 5 } \\ { 5 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=3$$

$$y=4$$

Алыштыруны куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. y'ны ике яктан алыгыз.

$$3x-y=5$$

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x-y=5,5x-y=11$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x-y=5$$

Тигезләмәнең ике ягына y өстәгез.

$$3x=y+5$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+5\right)$$

\frac{1}{3}'ны y+5 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{5+y}{3} куегыз, 5x-y=11.

$$5\left(\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)-y=11$$

5'ны \frac{5+y}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{5}{3}y+\frac{25}{3}-y=11$$

\frac{5y}{3}'ны -y'га өстәгез.

$$\frac{2}{3}y+\frac{25}{3}=11$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{25}{3} алыгыз.

$$\frac{2}{3}y=\frac{8}{3}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{2}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=4$$

4'ны y өчен x=\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{1}{3}\times 4+\frac{5}{3}$$

\frac{1}{3}'ны 4 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{4+5}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{5}{3}'ны \frac{4}{3}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=3$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=3,y=4$$

Матрицаларны куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. y'ны ике яктан алыгыз.

$$3x-y=5$$

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x-y=5,5x-y=11$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{3\left(-1\right)-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 11\\-\frac{5}{2}\times 5+\frac{3}{2}\times 11\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=3,y=4$$

Бетерүне куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. y'ны ике яктан алыгыз.

$$3x-y=5$$

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x-y=5,5x-y=11$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 5x-y=11'ны 3x-y=5'нан алыгыз.

$$3x-5x-y+y=5-11$$

-y'ны y'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, -y һәм y шартлар кыскартылган.

$$3x-5x=5-11$$

3x'ны -5x'га өстәгез.

$$-2x=5-11$$

5'ны -11'га өстәгез.

$$-2x=-6$$

Ике якны -2-га бүлегез.

$$x=3$$

3'ны x өчен 5x-y=11'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры y өчен чишә аласыз.

$$5\times 3-y=11$$

5'ны 3 тапкыр тапкырлагыз.

$$15-y=11$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 15 алыгыз.

$$-y=-4$$

Ике якны -1-га бүлегез.

$$y=4$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=3,y=4$$