{l}{3x+y=1}{4x+4y=3} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 1 } \\ { 4 x + 4 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=\frac{1}{8}=0.125$$

$$y=\frac{5}{8}=0.625$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x+y=1,4x+4y=3$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x+y=1$$

Тигезләмәнең ике ягыннан y алыгыз.

$$3x=-y+1$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+1\right)$$

\frac{1}{3}'ны -y+1 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-y+1}{3} куегыз, 4x+4y=3.

$$4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)+4y=3$$

4'ны \frac{-y+1}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{4}{3}+4y=3$$

-\frac{4y}{3}'ны 4y'га өстәгез.

$$\frac{8}{3}y+\frac{4}{3}=3$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{4}{3} алыгыз.

$$\frac{8}{3}y=\frac{5}{3}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{8}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{5}{8}$$

\frac{5}{8}'ны y өчен x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{5}{8}+\frac{1}{3}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{1}{3}'ны \frac{5}{8} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{5}{24}+\frac{1}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{1}{3}'ны -\frac{5}{24}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{1}{8}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{1}{8},y=\frac{5}{8}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x+y=1,4x+4y=3$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-4}&-\frac{1}{3\times 4-4}\\-\frac{4}{3\times 4-4}&\frac{3}{3\times 4-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\times 3\\-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\\\frac{5}{8}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{1}{8},y=\frac{5}{8}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x+y=1,4x+4y=3$$

3x һәм 4x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$4\times 3x+4y=4,3\times 4x+3\times 4y=3\times 3$$

Гадиләштерегез.

$$12x+4y=4,12x+12y=9$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 12x+12y=9'ны 12x+4y=4'нан алыгыз.

$$12x-12x+4y-12y=4-9$$

12x'ны -12x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 12x һәм -12x шартлар кыскартылган.

$$4y-12y=4-9$$

4y'ны -12y'га өстәгез.

$$-8y=4-9$$

4'ны -9'га өстәгез.

$$-8y=-5$$

Ике якны -8-га бүлегез.

$$y=\frac{5}{8}$$

\frac{5}{8}'ны y өчен 4x+4y=3'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$4x+4\times \frac{5}{8}=3$$

4'ны \frac{5}{8} тапкыр тапкырлагыз.

$$4x+\frac{5}{2}=3$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{5}{2} алыгыз.

$$4x=\frac{1}{2}$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{8}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{1}{8},y=\frac{5}{8}$$