{l}{3x+5y=21}{5x+2y=4} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 21 } \\ { 5 x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = -\frac{22}{19} = -1\frac{3}{19} \approx -1.157894737$$

$$y = \frac{93}{19} = 4\frac{17}{19} \approx 4.894736842$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x+5y=21$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 5y алыгыз.

$$3x=-5y+21$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+21\right)$$

\frac{1}{3}'ны -5y+21 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{5}{3}y+7$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{5y}{3}+7 куегыз, 5x+2y=4.

$$5\left(-\frac{5}{3}y+7\right)+2y=4$$

5'ны -\frac{5y}{3}+7 тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{25}{3}y+35+2y=4$$

-\frac{25y}{3}'ны 2y'га өстәгез.

$$-\frac{19}{3}y+35=4$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 35 алыгыз.

$$-\frac{19}{3}y=-31$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{19}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{93}{19}$$

\frac{93}{19}'ны y өчен x=-\frac{5}{3}y+7'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{93}{19}+7$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{5}{3}'ны \frac{93}{19} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{155}{19}+7$$

7'ны -\frac{155}{19}'га өстәгез.

$$x=-\frac{22}{19}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 2-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 2-5\times 5}&\frac{3}{3\times 2-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{5}{19}&-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}\times 21+\frac{5}{19}\times 4\\\frac{5}{19}\times 21-\frac{3}{19}\times 4\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{19}\\\frac{93}{19}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

3x һәм 5x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$5\times 3x+5\times 5y=5\times 21,3\times 5x+3\times 2y=3\times 4$$

Гадиләштерегез.

$$15x+25y=105,15x+6y=12$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 15x+6y=12'ны 15x+25y=105'нан алыгыз.

$$15x-15x+25y-6y=105-12$$

15x'ны -15x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 15x һәм -15x шартлар кыскартылган.

$$25y-6y=105-12$$

25y'ны -6y'га өстәгез.

$$19y=105-12$$

105'ны -12'га өстәгез.

$$19y=93$$

Ике якны 19-га бүлегез.

$$y=\frac{93}{19}$$

\frac{93}{19}'ны y өчен 5x+2y=4'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$5x+2\times \frac{93}{19}=4$$

2'ны \frac{93}{19} тапкыр тапкырлагыз.

$$5x+\frac{186}{19}=4$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{186}{19} алыгыз.

$$5x=-\frac{110}{19}$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=-\frac{22}{19}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$