{l}{2x+y=45}{3x+5y=70} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 45 } \\ { 3 x + 5 y = 70 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{155}{7} = 22\frac{1}{7} \approx 22.142857143$$

$$y=\frac{5}{7}\approx 0.714285714$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x+y=45,3x+5y=70$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x+y=45$$

Тигезләмәнең ике ягыннан y алыгыз.

$$2x=-y+45$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+45\right)$$

\frac{1}{2}'ны -y+45 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-y+45}{2} куегыз, 3x+5y=70.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}\right)+5y=70$$

3'ны \frac{-y+45}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{135}{2}+5y=70$$

-\frac{3y}{2}'ны 5y'га өстәгез.

$$\frac{7}{2}y+\frac{135}{2}=70$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{135}{2} алыгыз.

$$\frac{7}{2}y=\frac{5}{2}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{7}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{5}{7}$$

\frac{5}{7}'ны y өчен x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{5}{7}+\frac{45}{2}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{1}{2}'ны \frac{5}{7} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{5}{14}+\frac{45}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{45}{2}'ны -\frac{5}{14}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{155}{7}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{155}{7},y=\frac{5}{7}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x+y=45,3x+5y=70$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3}&-\frac{1}{2\times 5-3}\\-\frac{3}{2\times 5-3}&\frac{2}{2\times 5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\times 45-\frac{1}{7}\times 70\\-\frac{3}{7}\times 45+\frac{2}{7}\times 70\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{155}{7}\\\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{155}{7},y=\frac{5}{7}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x+y=45,3x+5y=70$$

2x һәм 3x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$3\times 2x+3y=3\times 45,2\times 3x+2\times 5y=2\times 70$$

Гадиләштерегез.

$$6x+3y=135,6x+10y=140$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 6x+10y=140'ны 6x+3y=135'нан алыгыз.

$$6x-6x+3y-10y=135-140$$

6x'ны -6x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 6x һәм -6x шартлар кыскартылган.

$$3y-10y=135-140$$

3y'ны -10y'га өстәгез.

$$-7y=135-140$$

135'ны -140'га өстәгез.

$$-7y=-5$$

Ике якны -7-га бүлегез.

$$y=\frac{5}{7}$$

\frac{5}{7}'ны y өчен 3x+5y=70'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$3x+5\times \frac{5}{7}=70$$

5'ны \frac{5}{7} тапкыр тапкырлагыз.

$$3x+\frac{25}{7}=70$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{25}{7} алыгыз.

$$3x=\frac{465}{7}$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{155}{7}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{155}{7},y=\frac{5}{7}$$