{l}{2x+7y=22}{2x-3y=-14} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 7 y = 22 } \\ { 2 x - 3 y = - 14 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x+7y=22,2x-3y=-14$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x+7y=22$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 7y алыгыз.

$$2x=-7y+22$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+22\right)$$

\frac{1}{2}'ны -7y+22 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{7}{2}y+11$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{7y}{2}+11 куегыз, 2x-3y=-14.

$$2\left(-\frac{7}{2}y+11\right)-3y=-14$$

2'ны -\frac{7y}{2}+11 тапкыр тапкырлагыз.

$$-7y+22-3y=-14$$

-7y'ны -3y'га өстәгез.

$$-10y+22=-14$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 22 алыгыз.

$$-10y=-36$$

Ике якны -10-га бүлегез.

$$y=\frac{18}{5}$$

\frac{18}{5}'ны y өчен x=-\frac{7}{2}y+11'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{7}{2}\times \frac{18}{5}+11$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{7}{2}'ны \frac{18}{5} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{63}{5}+11$$

11'ны -\frac{63}{5}'га өстәгез.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{18}{5}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x+7y=22,2x-3y=-14$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-7\times 2}&-\frac{7}{2\left(-3\right)-7\times 2}\\-\frac{2}{2\left(-3\right)-7\times 2}&\frac{2}{2\left(-3\right)-7\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&\frac{7}{20}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}\times 22+\frac{7}{20}\left(-14\right)\\\frac{1}{10}\times 22-\frac{1}{10}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{5}\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{18}{5}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x+7y=22,2x-3y=-14$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 2x-3y=-14'ны 2x+7y=22'нан алыгыз.

$$2x-2x+7y+3y=22+14$$

2x'ны -2x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 2x һәм -2x шартлар кыскартылган.

$$7y+3y=22+14$$

7y'ны 3y'га өстәгез.

$$10y=22+14$$

22'ны 14'га өстәгез.

$$10y=36$$

Ике якны 10-га бүлегез.

$$y=\frac{18}{5}$$

\frac{18}{5}'ны y өчен 2x-3y=-14'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$2x-3\times \frac{18}{5}=-14$$

-3'ны \frac{18}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$2x-\frac{54}{5}=-14$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{54}{5} өстәгез.

$$2x=-\frac{16}{5}$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{18}{5}$$