{l}{2x+5y=16}{3x-7y=24} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 16 } \\ { 3 x - 7 y = 24 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=8$$

$$y=0$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x+5y=16,3x-7y=24$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x+5y=16$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 5y алыгыз.

$$2x=-5y+16$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+16\right)$$

\frac{1}{2}'ны -5y+16 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{5}{2}y+8$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{5y}{2}+8 куегыз, 3x-7y=24.

$$3\left(-\frac{5}{2}y+8\right)-7y=24$$

3'ны -\frac{5y}{2}+8 тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{15}{2}y+24-7y=24$$

-\frac{15y}{2}'ны -7y'га өстәгез.

$$-\frac{29}{2}y+24=24$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 24 алыгыз.

$$-\frac{29}{2}y=0$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{29}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=0$$

0'ны y өчен x=-\frac{5}{2}y+8'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=8$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=8,y=0$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x+5y=16,3x-7y=24$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2\left(-7\right)-5\times 3}&-\frac{5}{2\left(-7\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-7\right)-5\times 3}&\frac{2}{2\left(-7\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}&\frac{5}{29}\\\frac{3}{29}&-\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}\times 16+\frac{5}{29}\times 24\\\frac{3}{29}\times 16-\frac{2}{29}\times 24\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=8,y=0$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x+5y=16,3x-7y=24$$

2x һәм 3x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$3\times 2x+3\times 5y=3\times 16,2\times 3x+2\left(-7\right)y=2\times 24$$

Гадиләштерегез.

$$6x+15y=48,6x-14y=48$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 6x-14y=48'ны 6x+15y=48'нан алыгыз.

$$6x-6x+15y+14y=48-48$$

6x'ны -6x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 6x һәм -6x шартлар кыскартылган.

$$15y+14y=48-48$$

15y'ны 14y'га өстәгез.

$$29y=48-48$$

48'ны -48'га өстәгез.

$$29y=0$$

Ике якны 29-га бүлегез.

$$y=0$$

0'ны y өчен 3x-7y=24'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$3x=24$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=8$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=8,y=0$$