{l}{2m-3n=9}{4m+9n=21} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = 9 } \\ { 4 m + 9 n = 21 } \end{array} \right.$$

m, n өчен чишелеш

$$m = \frac{24}{5} = 4\frac{4}{5} = 4.8$$

$$n=\frac{1}{5}=0.2$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2m-3n=9,4m+9n=21$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, m'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, m өчен чишегез.

$$2m-3n=9$$

Тигезләмәнең ике ягына 3n өстәгез.

$$2m=3n+9$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$m=\frac{1}{2}\left(3n+9\right)$$

\frac{1}{2}'ны 9+3n тапкыр тапкырлагыз.

$$m=\frac{3}{2}n+\frac{9}{2}$$

Башка тигезләмәдә m урынына \frac{9+3n}{2} куегыз, 4m+9n=21.

$$4\left(\frac{3}{2}n+\frac{9}{2}\right)+9n=21$$

4'ны \frac{9+3n}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$6n+18+9n=21$$

6n'ны 9n'га өстәгез.

$$15n+18=21$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 18 алыгыз.

$$15n=3$$

Ике якны 15-га бүлегез.

$$n=\frac{1}{5}$$

\frac{1}{5}'ны n өчен m=\frac{3}{2}n+\frac{9}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры m өчен чишә аласыз.

$$m=\frac{3}{2}\times \frac{1}{5}+\frac{9}{2}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, \frac{3}{2}'ны \frac{1}{5} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$m=\frac{3}{10}+\frac{9}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{9}{2}'ны \frac{3}{10}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$m=\frac{24}{5}$$

Система хәзер чишелгән.

$$m=\frac{24}{5},n=\frac{1}{5}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2m-3n=9,4m+9n=21$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 9+\frac{1}{10}\times 21\\-\frac{2}{15}\times 9+\frac{1}{15}\times 21\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{24}{5}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

m һәм n матрица элементларын чыгартыгыз.

$$m=\frac{24}{5},n=\frac{1}{5}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2m-3n=9,4m+9n=21$$

2m һәм 4m тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$4\times 2m+4\left(-3\right)n=4\times 9,2\times 4m+2\times 9n=2\times 21$$

Гадиләштерегез.

$$8m-12n=36,8m+18n=42$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 8m+18n=42'ны 8m-12n=36'нан алыгыз.

$$8m-8m-12n-18n=36-42$$

8m'ны -8m'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 8m һәм -8m шартлар кыскартылган.

$$-12n-18n=36-42$$

-12n'ны -18n'га өстәгез.

$$-30n=36-42$$

36'ны -42'га өстәгез.

$$-30n=-6$$

Ике якны -30-га бүлегез.

$$n=\frac{1}{5}$$

\frac{1}{5}'ны n өчен 4m+9n=21'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры m өчен чишә аласыз.

$$4m+9\times \frac{1}{5}=21$$

9'ны \frac{1}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$4m+\frac{9}{5}=21$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{9}{5} алыгыз.

$$4m=\frac{96}{5}$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$m=\frac{24}{5}$$

Система хәзер чишелгән.

$$m=\frac{24}{5},n=\frac{1}{5}$$