{c}{4x+2y=8}{16x-y=14} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 2 y = 8 } \\ { 16 x - y = 14 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=1$$

$$y=2$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$4x+2y=8,16x-y=14$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$4x+2y=8$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 2y алыгыз.

$$4x=-2y+8$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+8\right)$$

\frac{1}{4}'ны -2y+8 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{1}{2}y+2$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{y}{2}+2 куегыз, 16x-y=14.

$$16\left(-\frac{1}{2}y+2\right)-y=14$$

16'ны -\frac{y}{2}+2 тапкыр тапкырлагыз.

$$-8y+32-y=14$$

-8y'ны -y'га өстәгез.

$$-9y+32=14$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 32 алыгыз.

$$-9y=-18$$

Ике якны -9-га бүлегез.

$$y=2$$

2'ны y өчен x=-\frac{1}{2}y+2'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+2$$

-\frac{1}{2}'ны 2 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-1+2$$

2'ны -1'га өстәгез.

$$x=1$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=1,y=2$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$4x+2y=8,16x-y=14$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-2\times 16}&-\frac{2}{4\left(-1\right)-2\times 16}\\-\frac{16}{4\left(-1\right)-2\times 16}&\frac{4}{4\left(-1\right)-2\times 16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{36}&\frac{1}{18}\\\frac{4}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{36}\times 8+\frac{1}{18}\times 14\\\frac{4}{9}\times 8-\frac{1}{9}\times 14\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=1,y=2$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$4x+2y=8,16x-y=14$$

4x һәм 16x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 16'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га тапкырлагыз.

$$16\times 4x+16\times 2y=16\times 8,4\times 16x+4\left(-1\right)y=4\times 14$$

Гадиләштерегез.

$$64x+32y=128,64x-4y=56$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 64x-4y=56'ны 64x+32y=128'нан алыгыз.

$$64x-64x+32y+4y=128-56$$

64x'ны -64x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 64x һәм -64x шартлар кыскартылган.

$$32y+4y=128-56$$

32y'ны 4y'га өстәгез.

$$36y=128-56$$

128'ны -56'га өстәгез.

$$36y=72$$

Ике якны 36-га бүлегез.

$$y=2$$

2'ны y өчен 16x-y=14'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$16x-2=14$$

Тигезләмәнең ике ягына 2 өстәгез.

$$16x=16$$

Ике якны 16-га бүлегез.

$$x=1$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=1,y=2$$