{c}{2x+y=3}{-2x-4y=-1} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + y = 3 } \\ { - 2 x - 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{11}{6} = 1\frac{5}{6} \approx 1.833333333$$

$$y=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x+y=3,-2x-4y=-1$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x+y=3$$

Тигезләмәнең ике ягыннан y алыгыз.

$$2x=-y+3$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

\frac{1}{2}'ны -y+3 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-y+3}{2} куегыз, -2x-4y=-1.

$$-2\left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)-4y=-1$$

-2'ны \frac{-y+3}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$y-3-4y=-1$$

y'ны -4y'га өстәгез.

$$-3y-3=-1$$

Тигезләмәнең ике ягына 3 өстәгез.

$$-3y=2$$

Ике якны -3-га бүлегез.

$$y=-\frac{2}{3}$$

-\frac{2}{3}'ны y өчен x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{2}{3}\right)+\frac{3}{2}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{1}{2}'ны -\frac{2}{3} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{1}{3}+\frac{3}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{3}{2}'ны \frac{1}{3}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{11}{6}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{11}{6},y=-\frac{2}{3}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x+y=3,-2x-4y=-1$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-2\right)}&-\frac{1}{2\left(-4\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\left(-4\right)-\left(-2\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 3+\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{1}{3}\times 3-\frac{1}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{6}\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{11}{6},y=-\frac{2}{3}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x+y=3,-2x-4y=-1$$

2x һәм -2x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны -2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$-2\times 2x-2y=-2\times 3,2\left(-2\right)x+2\left(-4\right)y=2\left(-1\right)$$

Гадиләштерегез.

$$-4x-2y=-6,-4x-8y=-2$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, -4x-8y=-2'ны -4x-2y=-6'нан алыгыз.

$$-4x+4x-2y+8y=-6+2$$

-4x'ны 4x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, -4x һәм 4x шартлар кыскартылган.

$$-2y+8y=-6+2$$

-2y'ны 8y'га өстәгез.

$$6y=-6+2$$

-6'ны 2'га өстәгез.

$$6y=-4$$

Ике якны 6-га бүлегез.

$$y=-\frac{2}{3}$$

-\frac{2}{3}'ны y өчен -2x-4y=-1'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$-2x-4\left(-\frac{2}{3}\right)=-1$$

-4'ны -\frac{2}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$-2x+\frac{8}{3}=-1$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{8}{3} алыгыз.

$$-2x=-\frac{11}{3}$$

Ике якны -2-га бүлегез.

$$x=\frac{11}{6}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{11}{6},y=-\frac{2}{3}$$