{c}{2x+4y=1}{5x-y=2} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 4 y = 1 } \\ { 5 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=\frac{9}{22}\approx 0.409090909$$

$$y=\frac{1}{22}\approx 0.045454545$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x+4y=1,5x-y=2$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x+4y=1$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 4y алыгыз.

$$2x=-4y+1$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+1\right)$$

\frac{1}{2}'ны -4y+1 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-2y+\frac{1}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына -2y+\frac{1}{2} куегыз, 5x-y=2.

$$5\left(-2y+\frac{1}{2}\right)-y=2$$

5'ны -2y+\frac{1}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$-10y+\frac{5}{2}-y=2$$

-10y'ны -y'га өстәгез.

$$-11y+\frac{5}{2}=2$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{5}{2} алыгыз.

$$-11y=-\frac{1}{2}$$

Ике якны -11-га бүлегез.

$$y=\frac{1}{22}$$

\frac{1}{22}'ны y өчен x=-2y+\frac{1}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-2\times \frac{1}{22}+\frac{1}{2}$$

-2'ны \frac{1}{22} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{1}{11}+\frac{1}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{1}{2}'ны -\frac{1}{11}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{9}{22}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{9}{22},y=\frac{1}{22}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x+4y=1,5x-y=2$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4\times 5}&-\frac{4}{2\left(-1\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-4\times 5}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{2}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}+\frac{2}{11}\times 2\\\frac{5}{22}-\frac{1}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{22}\\\frac{1}{22}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{9}{22},y=\frac{1}{22}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x+4y=1,5x-y=2$$

2x һәм 5x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$5\times 2x+5\times 4y=5,2\times 5x+2\left(-1\right)y=2\times 2$$

Гадиләштерегез.

$$10x+20y=5,10x-2y=4$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 10x-2y=4'ны 10x+20y=5'нан алыгыз.

$$10x-10x+20y+2y=5-4$$

10x'ны -10x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 10x һәм -10x шартлар кыскартылган.

$$20y+2y=5-4$$

20y'ны 2y'га өстәгез.

$$22y=5-4$$

5'ны -4'га өстәгез.

$$22y=1$$

Ике якны 22-га бүлегез.

$$y=\frac{1}{22}$$

\frac{1}{22}'ны y өчен 5x-y=2'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$5x-\frac{1}{22}=2$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{1}{22} өстәгез.

$$5x=\frac{45}{22}$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{9}{22}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{9}{22},y=\frac{1}{22}$$