{r}{2x+7y=10}{8x+y=13} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { r } { 2 x + 7 y = 10 } \\ { 8 x + y = 13 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=1$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x+7y=10,8x+y=13$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x+7y=10$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 7y алыгыз.

$$2x=-7y+10$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+10\right)$$

\frac{1}{2}'ны -7y+10 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{7}{2}y+5$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{7y}{2}+5 куегыз, 8x+y=13.

$$8\left(-\frac{7}{2}y+5\right)+y=13$$

8'ны -\frac{7y}{2}+5 тапкыр тапкырлагыз.

$$-28y+40+y=13$$

-28y'ны y'га өстәгез.

$$-27y+40=13$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 40 алыгыз.

$$-27y=-27$$

Ике якны -27-га бүлегез.

$$y=1$$

1'ны y өчен x=-\frac{7}{2}y+5'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{7}{2}+5$$

5'ны -\frac{7}{2}'га өстәгез.

$$x=\frac{3}{2}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x+7y=10,8x+y=13$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\8&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&7\\8&1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\8&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\13\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\13\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-7\times 8}&-\frac{7}{2-7\times 8}\\-\frac{8}{2-7\times 8}&\frac{2}{2-7\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\13\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{54}&\frac{7}{54}\\\frac{4}{27}&-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\13\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{54}\times 10+\frac{7}{54}\times 13\\\frac{4}{27}\times 10-\frac{1}{27}\times 13\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x+7y=10,8x+y=13$$

2x һәм 8x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 8'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$8\times 2x+8\times 7y=8\times 10,2\times 8x+2y=2\times 13$$

Гадиләштерегез.

$$16x+56y=80,16x+2y=26$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 16x+2y=26'ны 16x+56y=80'нан алыгыз.

$$16x-16x+56y-2y=80-26$$

16x'ны -16x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 16x һәм -16x шартлар кыскартылган.

$$56y-2y=80-26$$

56y'ны -2y'га өстәгез.

$$54y=80-26$$

80'ны -26'га өстәгез.

$$54y=54$$

Ике якны 54-га бүлегез.

$$y=1$$

1'ны y өчен 8x+y=13'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$8x+1=13$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 1 алыгыз.

$$8x=12$$

Ике якны 8-га бүлегез.

$$x=\frac{3}{2}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$