{l}{u+v=10}{3u-2v=5} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { u + v = 10 } \\ { 3 u - 2 v = 5 } \end{array} \right.$$

u, v өчен чишелеш

$$u=5$$

$$v=5$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$u+v=10,3u-2v=5$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, u'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, u өчен чишегез.

$$u+v=10$$

Тигезләмәнең ике ягыннан v алыгыз.

$$u=-v+10$$

Башка тигезләмәдә u урынына -v+10 куегыз, 3u-2v=5.

$$3\left(-v+10\right)-2v=5$$

3'ны -v+10 тапкыр тапкырлагыз.

$$-3v+30-2v=5$$

-3v'ны -2v'га өстәгез.

$$-5v+30=5$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 30 алыгыз.

$$-5v=-25$$

Ике якны -5-га бүлегез.

$$v=5$$

5'ны v өчен u=-v+10'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры u өчен чишә аласыз.

$$u=-5+10$$

10'ны -5'га өстәгез.

$$u=5$$

Система хәзер чишелгән.

$$u=5,v=5$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$u+v=10,3u-2v=5$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3}&-\frac{1}{-2-3}\\-\frac{3}{-2-3}&\frac{1}{-2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 10+\frac{1}{5}\times 5\\\frac{3}{5}\times 10-\frac{1}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

u һәм v матрица элементларын чыгартыгыз.

$$u=5,v=5$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$u+v=10,3u-2v=5$$

u һәм 3u тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га тапкырлагыз.

$$3u+3v=3\times 10,3u-2v=5$$

Гадиләштерегез.

$$3u+3v=30,3u-2v=5$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 3u-2v=5'ны 3u+3v=30'нан алыгыз.

$$3u-3u+3v+2v=30-5$$

3u'ны -3u'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 3u һәм -3u шартлар кыскартылган.

$$3v+2v=30-5$$

3v'ны 2v'га өстәгез.

$$5v=30-5$$

30'ны -5'га өстәгез.

$$5v=25$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$v=5$$

5'ны v өчен 3u-2v=5'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры u өчен чишә аласыз.

$$3u-2\times 5=5$$

-2'ны 5 тапкыр тапкырлагыз.

$$3u-10=5$$

Тигезләмәнең ике ягына 10 өстәгез.

$$3u=15$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$u=5$$

Система хәзер чишелгән.

$$u=5,v=5$$