{l}{py-x=ap^2}{ay-x=aq^2} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { p y - x = a p ^ { 2 } } \\ { a y - x = a q ^ { 2 } } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{ap\left(q^{2}-ap\right)}{a-p}\text{, }y=-\frac{a\left(p^{2}-q^{2}\right)}{a-p}\text{, }&p\neq a\\x=p\left(y-ap\right)\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&\left(p=q\text{ and }a=q\right)\text{ or }\left(p=-q\text{ and }a=-q\right)\text{ or }\left(a=0\text{ and }p=0\right)\end{matrix}\right.$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$py-x=ap^{2},ay-x=aq^{2}$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, y'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, y өчен чишегез.

$$py-x=ap^{2}$$

Тигезләмәнең ике ягына x өстәгез.

$$py=x+ap^{2}$$

Ике якны p-га бүлегез.

$$y=\frac{1}{p}\left(x+ap^{2}\right)$$

\frac{1}{p}'ны x+ap^{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$y=\frac{1}{p}x+ap$$

Башка тигезләмәдә y урынына pa+\frac{x}{p} куегыз, ay-x=aq^{2}.

$$a\left(\frac{1}{p}x+ap\right)-x=aq^{2}$$

a'ны pa+\frac{x}{p} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{a}{p}x+pa^{2}-x=aq^{2}$$

\frac{ax}{p}'ны -x'га өстәгез.

$$\left(\frac{a}{p}-1\right)x+pa^{2}=aq^{2}$$

Тигезләмәнең ике ягыннан pa^{2} алыгыз.

$$\left(\frac{a}{p}-1\right)x=a\left(q^{2}-ap\right)$$

Ике якны \frac{a}{p}-1-га бүлегез.

$$x=\frac{ap\left(q^{2}-ap\right)}{a-p}$$

\frac{a\left(q^{2}-pa\right)p}{a-p}'ны x өчен y=\frac{1}{p}x+ap'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры y өчен чишә аласыз.

$$y=\frac{1}{p}\times \frac{ap\left(q^{2}-ap\right)}{a-p}+ap$$

\frac{1}{p}'ны \frac{a\left(q^{2}-pa\right)p}{a-p} тапкыр тапкырлагыз.

$$y=\frac{a\left(q^{2}-ap\right)}{a-p}+ap$$

ap'ны \frac{a\left(q^{2}-pa\right)}{a-p}'га өстәгез.

$$y=-\frac{a\left(p-q\right)\left(p+q\right)}{a-p}$$

Система хәзер чишелгән.

$$y=-\frac{a\left(p-q\right)\left(p+q\right)}{a-p},x=\frac{ap\left(q^{2}-ap\right)}{a-p}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$py-x=ap^{2},ay-x=aq^{2}$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}p&-1\\a&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}ap^{2}\\aq^{2}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}p&-1\\a&-1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}p&-1\\a&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}p&-1\\a&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}p&-1\\a&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}ap^{2}\\aq^{2}\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}p&-1\\a&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}ap^{2}\\aq^{2}\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}p&-1\\a&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}ap^{2}\\aq^{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{p\left(-1\right)-\left(-a\right)}&-\frac{-1}{p\left(-1\right)-\left(-a\right)}\\-\frac{a}{p\left(-1\right)-\left(-a\right)}&\frac{p}{p\left(-1\right)-\left(-a\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}ap^{2}\\aq^{2}\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{a-p}&\frac{1}{a-p}\\-\frac{a}{a-p}&\frac{p}{a-p}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}ap^{2}\\aq^{2}\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{1}{a-p}\right)ap^{2}+\frac{1}{a-p}aq^{2}\\\left(-\frac{a}{a-p}\right)ap^{2}+\frac{p}{a-p}aq^{2}\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a\left(p-q\right)\left(p+q\right)}{a-p}\\\frac{ap\left(q^{2}-ap\right)}{a-p}\end{matrix}\right)$$

y һәм x матрица элементларын чыгартыгыз.

$$y=-\frac{a\left(p-q\right)\left(p+q\right)}{a-p},x=\frac{ap\left(q^{2}-ap\right)}{a-p}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$py-x=ap^{2},ay-x=aq^{2}$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, ay-x=aq^{2}'ны py-x=ap^{2}'нан алыгыз.

$$py+\left(-a\right)y-x+x=ap^{2}-aq^{2}$$

-x'ны x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, -x һәм x шартлар кыскартылган.

$$py+\left(-a\right)y=ap^{2}-aq^{2}$$

py'ны -ay'га өстәгез.

$$\left(p-a\right)y=ap^{2}-aq^{2}$$

ap^{2}'ны -aq^{2}'га өстәгез.

$$\left(p-a\right)y=a\left(p-q\right)\left(p+q\right)$$

Ике якны p-a-га бүлегез.

$$y=\frac{a\left(p-q\right)\left(p+q\right)}{p-a}$$

\frac{a\left(p-q\right)\left(p+q\right)}{p-a}'ны y өчен ay-x=aq^{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$a\times \frac{a\left(p-q\right)\left(p+q\right)}{p-a}-x=aq^{2}$$

a'ны \frac{a\left(p-q\right)\left(p+q\right)}{p-a} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{\left(p-q\right)\left(p+q\right)a^{2}}{p-a}-x=aq^{2}$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{\left(p-q\right)\left(p+q\right)a^{2}}{p-a} алыгыз.

$$-x=\frac{ap\left(q^{2}-ap\right)}{p-a}$$

Ике якны -1-га бүлегез.

$$x=-\frac{ap\left(q^{2}-ap\right)}{p-a}$$

Система хәзер чишелгән.

$$y=\frac{a\left(p-q\right)\left(p+q\right)}{p-a},x=-\frac{ap\left(q^{2}-ap\right)}{p-a}$$