{l}{ax-by+8=0}{bx+ay+1=0} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { a x - b y + 8 = 0 } \\ { b x + a y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш (complex solution)

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$a\neq ib\text{ and }a\neq -ib$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 8 алыгыз.

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

Тигезләмәнең ике ягына by өстәгез.

$$ax=by-8$$

Ике якны a-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

\frac{1}{a}'ны by-8 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{by-8}{a} куегыз, bx+ay+1=0.

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

b'ны \frac{by-8}{a} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

\frac{b^{2}y}{a}'ны ay'га өстәгез.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

-\frac{8b}{a}'ны 1'га өстәгез.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{a-8b}{a} алыгыз.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

Ике якны a+\frac{b^{2}}{a}-га бүлегез.

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}'ны y өчен x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

\frac{b}{a}'ны \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

-\frac{8}{a}'ны \frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}'га өстәгез.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

ax һәм bx тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны b'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны a'га тапкырлагыз.

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

Гадиләштерегез.

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, abx+a^{2}y+a=0'ны abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0'нан алыгыз.

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

bax'ны -bax'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, bax һәм -bax шартлар кыскартылган.

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

-b^{2}y'ны -a^{2}y'га өстәгез.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 8b-a алыгыз.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

Ике якны -b^{2}-a^{2}-га бүлегез.

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

-\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}}'ны y өчен bx+ay+1=0'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

a'ны -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} тапкыр тапкырлагыз.

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

-\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}}'ны 1'га өстәгез.

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}} алыгыз.

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

Ике якны b-га бүлегез.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

x, y өчен чишелеш

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$b\neq 0\text{ or }a\neq 0$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 8 алыгыз.

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

Тигезләмәнең ике ягына by өстәгез.

$$ax=by-8$$

Ике якны a-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

\frac{1}{a}'ны by-8 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{by-8}{a} куегыз, bx+ay+1=0.

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

b'ны \frac{by-8}{a} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

\frac{b^{2}y}{a}'ны ay'га өстәгез.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

-\frac{8b}{a}'ны 1'га өстәгез.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{a-8b}{a} алыгыз.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

Ике якны a+\frac{b^{2}}{a}-га бүлегез.

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}'ны y өчен x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

\frac{b}{a}'ны \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

-\frac{8}{a}'ны \frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}'га өстәгез.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

ax һәм bx тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны b'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны a'га тапкырлагыз.

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

Гадиләштерегез.

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, abx+a^{2}y+a=0'ны abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0'нан алыгыз.

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

bax'ны -bax'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, bax һәм -bax шартлар кыскартылган.

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

-b^{2}y'ны -a^{2}y'га өстәгез.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 8b-a алыгыз.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

Ике якны -b^{2}-a^{2}-га бүлегез.

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

-\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}}'ны y өчен bx+ay+1=0'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

a'ны -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} тапкыр тапкырлагыз.

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

-\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}}'ны 1'га өстәгез.

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{b\left(8a+b\right)}{b^{2}+a^{2}} алыгыз.

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

Ике якны b-га бүлегез.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$