{l}{78x+40y=1280}{120x+8y=2800} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 78 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 8 y = 2800 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{2120}{87} = 24\frac{32}{87} \approx 24.367816092$$

$$y = -\frac{450}{29} = -15\frac{15}{29} \approx -15.517241379$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$78x+40y=1280,120x+8y=2800$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$78x+40y=1280$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 40y алыгыз.

$$78x=-40y+1280$$

Ике якны 78-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{78}\left(-40y+1280\right)$$

\frac{1}{78}'ны -40y+1280 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-20y+640}{39} куегыз, 120x+8y=2800.

$$120\left(-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}\right)+8y=2800$$

120'ны \frac{-20y+640}{39} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{800}{13}y+\frac{25600}{13}+8y=2800$$

-\frac{800y}{13}'ны 8y'га өстәгез.

$$-\frac{696}{13}y+\frac{25600}{13}=2800$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{25600}{13} алыгыз.

$$-\frac{696}{13}y=\frac{10800}{13}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{696}{13} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-\frac{450}{29}$$

-\frac{450}{29}'ны y өчен x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{20}{39}\left(-\frac{450}{29}\right)+\frac{640}{39}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{20}{39}'ны -\frac{450}{29} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{3000}{377}+\frac{640}{39}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{640}{39}'ны \frac{3000}{377}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{2120}{87}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{2120}{87},y=-\frac{450}{29}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$78x+40y=1280,120x+8y=2800$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{78\times 8-40\times 120}&-\frac{40}{78\times 8-40\times 120}\\-\frac{120}{78\times 8-40\times 120}&\frac{78}{78\times 8-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{522}&\frac{5}{522}\\\frac{5}{174}&-\frac{13}{696}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{522}\times 1280+\frac{5}{522}\times 2800\\\frac{5}{174}\times 1280-\frac{13}{696}\times 2800\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2120}{87}\\-\frac{450}{29}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{2120}{87},y=-\frac{450}{29}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$78x+40y=1280,120x+8y=2800$$

78x һәм 120x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 120'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 78'га тапкырлагыз.

$$120\times 78x+120\times 40y=120\times 1280,78\times 120x+78\times 8y=78\times 2800$$

Гадиләштерегез.

$$9360x+4800y=153600,9360x+624y=218400$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 9360x+624y=218400'ны 9360x+4800y=153600'нан алыгыз.

$$9360x-9360x+4800y-624y=153600-218400$$

9360x'ны -9360x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 9360x һәм -9360x шартлар кыскартылган.

$$4800y-624y=153600-218400$$

4800y'ны -624y'га өстәгез.

$$4176y=153600-218400$$

153600'ны -218400'га өстәгез.

$$4176y=-64800$$

Ике якны 4176-га бүлегез.

$$y=-\frac{450}{29}$$

-\frac{450}{29}'ны y өчен 120x+8y=2800'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$120x+8\left(-\frac{450}{29}\right)=2800$$

8'ны -\frac{450}{29} тапкыр тапкырлагыз.

$$120x-\frac{3600}{29}=2800$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{3600}{29} өстәгез.

$$120x=\frac{84800}{29}$$

Ике якны 120-га бүлегез.

$$x=\frac{2120}{87}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{2120}{87},y=-\frac{450}{29}$$