{l}{5x-2y=4}{x/2+y/3=2} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 4 } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 3 } = 2 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=2$$

$$y=3$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$5x-2y=4,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$5x-2y=4$$

Тигезләмәнең ике ягына 2y өстәгез.

$$5x=2y+4$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+4\right)$$

\frac{1}{5}'ны 4+2y тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{4+2y}{5} куегыз, \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2.

$$\frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}\right)+\frac{1}{3}y=2$$

\frac{1}{2}'ны \frac{4+2y}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{1}{5}y+\frac{2}{5}+\frac{1}{3}y=2$$

\frac{y}{5}'ны \frac{y}{3}'га өстәгез.

$$\frac{8}{15}y+\frac{2}{5}=2$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{2}{5} алыгыз.

$$\frac{8}{15}y=\frac{8}{5}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{8}{15} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=3$$

3'ны y өчен x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{2}{5}\times 3+\frac{4}{5}$$

\frac{2}{5}'ны 3 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{6+4}{5}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{4}{5}'ны \frac{6}{5}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=2$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=2,y=3$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$5x-2y=4,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{5\times \frac{1}{3}-\left(-2\times \frac{1}{2}\right)}&-\frac{-2}{5\times \frac{1}{3}-\left(-2\times \frac{1}{2}\right)}\\-\frac{\frac{1}{2}}{5\times \frac{1}{3}-\left(-2\times \frac{1}{2}\right)}&\frac{5}{5\times \frac{1}{3}-\left(-2\times \frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{4}\\-\frac{3}{16}&\frac{15}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 4+\frac{3}{4}\times 2\\-\frac{3}{16}\times 4+\frac{15}{8}\times 2\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=2,y=3$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$5x-2y=4,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2$$

5x һәм \frac{x}{2} тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны \frac{1}{2}'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га тапкырлагыз.

$$\frac{1}{2}\times 5x+\frac{1}{2}\left(-2\right)y=\frac{1}{2}\times 4,5\times \frac{1}{2}x+5\times \frac{1}{3}y=5\times 2$$

Гадиләштерегез.

$$\frac{5}{2}x-y=2,\frac{5}{2}x+\frac{5}{3}y=10$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, \frac{5}{2}x+\frac{5}{3}y=10'ны \frac{5}{2}x-y=2'нан алыгыз.

$$\frac{5}{2}x-\frac{5}{2}x-y-\frac{5}{3}y=2-10$$

\frac{5x}{2}'ны -\frac{5x}{2}'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, \frac{5x}{2} һәм -\frac{5x}{2} шартлар кыскартылган.

$$-y-\frac{5}{3}y=2-10$$

-y'ны -\frac{5y}{3}'га өстәгез.

$$-\frac{8}{3}y=2-10$$

2'ны -10'га өстәгез.

$$-\frac{8}{3}y=-8$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{8}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=3$$

3'ны y өчен \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\times 3=2$$

\frac{1}{3}'ны 3 тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{1}{2}x+1=2$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 1 алыгыз.

$$\frac{1}{2}x=1$$

Ике якны 2-га тапкырлагыз.

$$x=2$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=2,y=3$$