{l}{5x+y=13}{4x-3y=-1} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + y = 13 } \\ { 4 x - 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=2$$

$$y=3$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$5x+y=13,4x-3y=-1$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$5x+y=13$$

Тигезләмәнең ике ягыннан y алыгыз.

$$5x=-y+13$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+13\right)$$

\frac{1}{5}'ны -y+13 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{13}{5}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-y+13}{5} куегыз, 4x-3y=-1.

$$4\left(-\frac{1}{5}y+\frac{13}{5}\right)-3y=-1$$

4'ны \frac{-y+13}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{4}{5}y+\frac{52}{5}-3y=-1$$

-\frac{4y}{5}'ны -3y'га өстәгез.

$$-\frac{19}{5}y+\frac{52}{5}=-1$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{52}{5} алыгыз.

$$-\frac{19}{5}y=-\frac{57}{5}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{19}{5} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=3$$

3'ны y өчен x=-\frac{1}{5}y+\frac{13}{5}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{1}{5}\times 3+\frac{13}{5}$$

-\frac{1}{5}'ны 3 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-3+13}{5}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{13}{5}'ны -\frac{3}{5}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=2$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=2,y=3$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$5x+y=13,4x-3y=-1$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&1\\4&-3\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-4}&-\frac{1}{5\left(-3\right)-4}\\-\frac{4}{5\left(-3\right)-4}&\frac{5}{5\left(-3\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{4}{19}&-\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\times 13+\frac{1}{19}\left(-1\right)\\\frac{4}{19}\times 13-\frac{5}{19}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=2,y=3$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$5x+y=13,4x-3y=-1$$

5x һәм 4x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га тапкырлагыз.

$$4\times 5x+4y=4\times 13,5\times 4x+5\left(-3\right)y=5\left(-1\right)$$

Гадиләштерегез.

$$20x+4y=52,20x-15y=-5$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 20x-15y=-5'ны 20x+4y=52'нан алыгыз.

$$20x-20x+4y+15y=52+5$$

20x'ны -20x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 20x һәм -20x шартлар кыскартылган.

$$4y+15y=52+5$$

4y'ны 15y'га өстәгез.

$$19y=52+5$$

52'ны 5'га өстәгез.

$$19y=57$$

Ике якны 19-га бүлегез.

$$y=3$$

3'ны y өчен 4x-3y=-1'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$4x-3\times 3=-1$$

-3'ны 3 тапкыр тапкырлагыз.

$$4x-9=-1$$

Тигезләмәнең ике ягына 9 өстәгез.

$$4x=8$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=2$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=2,y=3$$