{l}{5x+3y=6}{3x+5y=9} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 6 } \\ { 3 x + 5 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=\frac{3}{16}=0.1875$$

$$y = \frac{27}{16} = 1\frac{11}{16} = 1.6875$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$5x+3y=6,3x+5y=9$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$5x+3y=6$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3y алыгыз.

$$5x=-3y+6$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+6\right)$$

\frac{1}{5}'ны -3y+6 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-3y+6}{5} куегыз, 3x+5y=9.

$$3\left(-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}\right)+5y=9$$

3'ны \frac{-3y+6}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{9}{5}y+\frac{18}{5}+5y=9$$

-\frac{9y}{5}'ны 5y'га өстәгез.

$$\frac{16}{5}y+\frac{18}{5}=9$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{18}{5} алыгыз.

$$\frac{16}{5}y=\frac{27}{5}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{16}{5} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{27}{16}$$

\frac{27}{16}'ны y өчен x=-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{27}{16}+\frac{6}{5}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{3}{5}'ны \frac{27}{16} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{81}{80}+\frac{6}{5}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{6}{5}'ны -\frac{81}{80}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{3}{16}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{3}{16},y=\frac{27}{16}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$5x+3y=6,3x+5y=9$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&3\\3&5\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-3\times 3}&-\frac{3}{5\times 5-3\times 3}\\-\frac{3}{5\times 5-3\times 3}&\frac{5}{5\times 5-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&-\frac{3}{16}\\-\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 6-\frac{3}{16}\times 9\\-\frac{3}{16}\times 6+\frac{5}{16}\times 9\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}\\\frac{27}{16}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{3}{16},y=\frac{27}{16}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$5x+3y=6,3x+5y=9$$

5x һәм 3x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га тапкырлагыз.

$$3\times 5x+3\times 3y=3\times 6,5\times 3x+5\times 5y=5\times 9$$

Гадиләштерегез.

$$15x+9y=18,15x+25y=45$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 15x+25y=45'ны 15x+9y=18'нан алыгыз.

$$15x-15x+9y-25y=18-45$$

15x'ны -15x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 15x һәм -15x шартлар кыскартылган.

$$9y-25y=18-45$$

9y'ны -25y'га өстәгез.

$$-16y=18-45$$

18'ны -45'га өстәгез.

$$-16y=-27$$

Ике якны -16-га бүлегез.

$$y=\frac{27}{16}$$

\frac{27}{16}'ны y өчен 3x+5y=9'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$3x+5\times \frac{27}{16}=9$$

5'ны \frac{27}{16} тапкыр тапкырлагыз.

$$3x+\frac{135}{16}=9$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{135}{16} алыгыз.

$$3x=\frac{9}{16}$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{3}{16}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{3}{16},y=\frac{27}{16}$$