{l}{48x+40y=1200}{120x+80y=2800} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 48 x + 40 y = 1200 } \\ { 120 x + 80 y = 2800 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3} \approx 16.666666667$$

$$y=10$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$48x+40y=1200,120x+80y=2800$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$48x+40y=1200$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 40y алыгыз.

$$48x=-40y+1200$$

Ике якны 48-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{48}\left(-40y+1200\right)$$

\frac{1}{48}'ны -40y+1200 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{5}{6}y+25$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{5y}{6}+25 куегыз, 120x+80y=2800.

$$120\left(-\frac{5}{6}y+25\right)+80y=2800$$

120'ны -\frac{5y}{6}+25 тапкыр тапкырлагыз.

$$-100y+3000+80y=2800$$

-100y'ны 80y'га өстәгез.

$$-20y+3000=2800$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3000 алыгыз.

$$-20y=-200$$

Ике якны -20-га бүлегез.

$$y=10$$

10'ны y өчен x=-\frac{5}{6}y+25'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{5}{6}\times 10+25$$

-\frac{5}{6}'ны 10 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{25}{3}+25$$

25'ны -\frac{25}{3}'га өстәгез.

$$x=\frac{50}{3}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{50}{3},y=10$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$48x+40y=1200,120x+80y=2800$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1200\\2800\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1200\\2800\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1200\\2800\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1200\\2800\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{48\times 80-40\times 120}&-\frac{40}{48\times 80-40\times 120}\\-\frac{120}{48\times 80-40\times 120}&\frac{48}{48\times 80-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1200\\2800\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{1}{24}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1200\\2800\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 1200+\frac{1}{24}\times 2800\\\frac{1}{8}\times 1200-\frac{1}{20}\times 2800\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{3}\\10\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{50}{3},y=10$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$48x+40y=1200,120x+80y=2800$$

48x һәм 120x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 120'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 48'га тапкырлагыз.

$$120\times 48x+120\times 40y=120\times 1200,48\times 120x+48\times 80y=48\times 2800$$

Гадиләштерегез.

$$5760x+4800y=144000,5760x+3840y=134400$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 5760x+3840y=134400'ны 5760x+4800y=144000'нан алыгыз.

$$5760x-5760x+4800y-3840y=144000-134400$$

5760x'ны -5760x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 5760x һәм -5760x шартлар кыскартылган.

$$4800y-3840y=144000-134400$$

4800y'ны -3840y'га өстәгез.

$$960y=144000-134400$$

144000'ны -134400'га өстәгез.

$$960y=9600$$

Ике якны 960-га бүлегез.

$$y=10$$

10'ны y өчен 120x+80y=2800'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$120x+80\times 10=2800$$

80'ны 10 тапкыр тапкырлагыз.

$$120x+800=2800$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 800 алыгыз.

$$120x=2000$$

Ике якны 120-га бүлегез.

$$x=\frac{50}{3}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{50}{3},y=10$$