{l}{40x+720y=112}{120x+2205y=340.5} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 40 x + 720 y = 112 } \\ { 120 x + 2205 y = 340.5 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=1$$

$$y=0.1$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$40x+720y=112$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 720y алыгыз.

$$40x=-720y+112$$

Ике якны 40-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{40}\left(-720y+112\right)$$

\frac{1}{40}'ны -720y+112 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-18y+\frac{14}{5}$$

Башка тигезләмәдә x урынына -18y+\frac{14}{5} куегыз, 120x+2205y=340.5.

$$120\left(-18y+\frac{14}{5}\right)+2205y=340.5$$

120'ны -18y+\frac{14}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$-2160y+336+2205y=340.5$$

-2160y'ны 2205y'га өстәгез.

$$45y+336=340.5$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 336 алыгыз.

$$45y=4.5$$

Ике якны 45-га бүлегез.

$$y=0.1$$

0.1'ны y өчен x=-18y+\frac{14}{5}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-18\times 0.1+\frac{14}{5}$$

-18'ны 0.1 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-9+14}{5}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{14}{5}'ны -1.8'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=1$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=1,y=0.1$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2205}{40\times 2205-720\times 120}&-\frac{720}{40\times 2205-720\times 120}\\-\frac{120}{40\times 2205-720\times 120}&\frac{40}{40\times 2205-720\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{40}&-\frac{2}{5}\\-\frac{1}{15}&\frac{1}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{40}\times 112-\frac{2}{5}\times 340.5\\-\frac{1}{15}\times 112+\frac{1}{45}\times 340.5\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{10}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=1,y=\frac{1}{10}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

40x һәм 120x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 120'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 40'га тапкырлагыз.

$$120\times 40x+120\times 720y=120\times 112,40\times 120x+40\times 2205y=40\times 340.5$$

Гадиләштерегез.

$$4800x+86400y=13440,4800x+88200y=13620$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 4800x+88200y=13620'ны 4800x+86400y=13440'нан алыгыз.

$$4800x-4800x+86400y-88200y=13440-13620$$

4800x'ны -4800x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 4800x һәм -4800x шартлар кыскартылган.

$$86400y-88200y=13440-13620$$

86400y'ны -88200y'га өстәгез.

$$-1800y=13440-13620$$

13440'ны -13620'га өстәгез.

$$-1800y=-180$$

Ике якны -1800-га бүлегез.

$$y=\frac{1}{10}$$

\frac{1}{10}'ны y өчен 120x+2205y=340.5'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$120x+2205\times \frac{1}{10}=340.5$$

2205'ны \frac{1}{10} тапкыр тапкырлагыз.

$$120x+\frac{441}{2}=340.5$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{441}{2} алыгыз.

$$120x=120$$

Ике якны 120-га бүлегез.

$$x=1$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=1,y=\frac{1}{10}$$