{l}{3x-5y-4=0}{15y=4x+3} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y - 4 = 0 } \\ { 15 y = 4 x + 3 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=3$$

$$y=1$$

Алыштыруны куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. Ике як өчен 4 өстәгез. Теләсә кайсы әйбергә нуль өстәлсә, шул ук әйбер булып чыга.

$$3x-5y=4$$

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. 4x'ны ике яктан алыгыз.

$$15y-4x=3$$

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x-5y=4,-4x+15y=3$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x-5y=4$$

Тигезләмәнең ике ягына 5y өстәгез.

$$3x=5y+4$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

\frac{1}{3}'ны 5y+4 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{5y+4}{3} куегыз, -4x+15y=3.

$$-4\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)+15y=3$$

-4'ны \frac{5y+4}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{20}{3}y-\frac{16}{3}+15y=3$$

-\frac{20y}{3}'ны 15y'га өстәгез.

$$\frac{25}{3}y-\frac{16}{3}=3$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{16}{3} өстәгез.

$$\frac{25}{3}y=\frac{25}{3}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{25}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=1$$

1'ны y өчен x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{5+4}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{4}{3}'ны \frac{5}{3}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=3$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=3,y=1$$

Матрицаларны куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. Ике як өчен 4 өстәгез. Теләсә кайсы әйбергә нуль өстәлсә, шул ук әйбер булып чыга.

$$3x-5y=4$$

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. 4x'ны ике яктан алыгыз.

$$15y-4x=3$$

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x-5y=4,-4x+15y=3$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}&\frac{3}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{4}{25}&\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 4+\frac{1}{5}\times 3\\\frac{4}{25}\times 4+\frac{3}{25}\times 3\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=3,y=1$$

Бетерүне куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. Ике як өчен 4 өстәгез. Теләсә кайсы әйбергә нуль өстәлсә, шул ук әйбер булып чыга.

$$3x-5y=4$$

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. 4x'ны ике яктан алыгыз.

$$15y-4x=3$$

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x-5y=4,-4x+15y=3$$

3x һәм -4x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны -4'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$-4\times 3x-4\left(-5\right)y=-4\times 4,3\left(-4\right)x+3\times 15y=3\times 3$$

Гадиләштерегез.

$$-12x+20y=-16,-12x+45y=9$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, -12x+45y=9'ны -12x+20y=-16'нан алыгыз.

$$-12x+12x+20y-45y=-16-9$$

-12x'ны 12x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, -12x һәм 12x шартлар кыскартылган.

$$20y-45y=-16-9$$

20y'ны -45y'га өстәгез.

$$-25y=-16-9$$

-16'ны -9'га өстәгез.

$$-25y=-25$$

Ике якны -25-га бүлегез.

$$y=1$$

1'ны y өчен -4x+15y=3'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$-4x+15=3$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 15 алыгыз.

$$-4x=-12$$

Ике якны -4-га бүлегез.

$$x=3$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=3,y=1$$