{l}{3x+y=3}{5x-y=15} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 3 } \\ { 5 x - y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

$$y = -\frac{15}{4} = -3\frac{3}{4} = -3.75$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x+y=3,5x-y=15$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x+y=3$$

Тигезләмәнең ике ягыннан y алыгыз.

$$3x=-y+3$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+3\right)$$

\frac{1}{3}'ны -y+3 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{1}{3}y+1$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{y}{3}+1 куегыз, 5x-y=15.

$$5\left(-\frac{1}{3}y+1\right)-y=15$$

5'ны -\frac{y}{3}+1 тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{5}{3}y+5-y=15$$

-\frac{5y}{3}'ны -y'га өстәгез.

$$-\frac{8}{3}y+5=15$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 5 алыгыз.

$$-\frac{8}{3}y=10$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{8}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-\frac{15}{4}$$

-\frac{15}{4}'ны y өчен x=-\frac{1}{3}y+1'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-\frac{15}{4}\right)+1$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{1}{3}'ны -\frac{15}{4} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{5}{4}+1$$

1'ны \frac{5}{4}'га өстәгез.

$$x=\frac{9}{4}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{9}{4},y=-\frac{15}{4}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x+y=3,5x-y=15$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-5}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-5}\\-\frac{5}{3\left(-1\right)-5}&\frac{3}{3\left(-1\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 3+\frac{1}{8}\times 15\\\frac{5}{8}\times 3-\frac{3}{8}\times 15\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\\-\frac{15}{4}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{9}{4},y=-\frac{15}{4}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x+y=3,5x-y=15$$

3x һәм 5x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$5\times 3x+5y=5\times 3,3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 15$$

Гадиләштерегез.

$$15x+5y=15,15x-3y=45$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 15x-3y=45'ны 15x+5y=15'нан алыгыз.

$$15x-15x+5y+3y=15-45$$

15x'ны -15x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 15x һәм -15x шартлар кыскартылган.

$$5y+3y=15-45$$

5y'ны 3y'га өстәгез.

$$8y=15-45$$

15'ны -45'га өстәгез.

$$8y=-30$$

Ике якны 8-га бүлегез.

$$y=-\frac{15}{4}$$

-\frac{15}{4}'ны y өчен 5x-y=15'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$5x-\left(-\frac{15}{4}\right)=15$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{15}{4} алыгыз.

$$5x=\frac{45}{4}$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{9}{4}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{9}{4},y=-\frac{15}{4}$$