{l}{3x+2y=180}{5x+4y=620} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 180 } \\ { 5 x + 4 y = 620 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=-260$$

$$y=480$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x+2y=180,5x+4y=620$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x+2y=180$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 2y алыгыз.

$$3x=-2y+180$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+180\right)$$

\frac{1}{3}'ны -2y+180 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{2}{3}y+60$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{2y}{3}+60 куегыз, 5x+4y=620.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+60\right)+4y=620$$

5'ны -\frac{2y}{3}+60 тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{10}{3}y+300+4y=620$$

-\frac{10y}{3}'ны 4y'га өстәгез.

$$\frac{2}{3}y+300=620$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 300 алыгыз.

$$\frac{2}{3}y=320$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{2}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=480$$

480'ны y өчен x=-\frac{2}{3}y+60'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{2}{3}\times 480+60$$

-\frac{2}{3}'ны 480 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-320+60$$

60'ны -320'га өстәгез.

$$x=-260$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-260,y=480$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x+2y=180,5x+4y=620$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}180\\620\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\5&4\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}180\\620\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}180\\620\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}180\\620\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-2\times 5}&-\frac{2}{3\times 4-2\times 5}\\-\frac{5}{3\times 4-2\times 5}&\frac{3}{3\times 4-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}180\\620\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}180\\620\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 180-620\\-\frac{5}{2}\times 180+\frac{3}{2}\times 620\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-260\\480\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-260,y=480$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x+2y=180,5x+4y=620$$

3x һәм 5x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 180,3\times 5x+3\times 4y=3\times 620$$

Гадиләштерегез.

$$15x+10y=900,15x+12y=1860$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 15x+12y=1860'ны 15x+10y=900'нан алыгыз.

$$15x-15x+10y-12y=900-1860$$

15x'ны -15x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 15x һәм -15x шартлар кыскартылган.

$$10y-12y=900-1860$$

10y'ны -12y'га өстәгез.

$$-2y=900-1860$$

900'ны -1860'га өстәгез.

$$-2y=-960$$

Ике якны -2-га бүлегез.

$$y=480$$

480'ны y өчен 5x+4y=620'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$5x+4\times 480=620$$

4'ны 480 тапкыр тапкырлагыз.

$$5x+1920=620$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 1920 алыгыз.

$$5x=-1300$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=-260$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-260,y=480$$